Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49970 / 58194
↖ ↑ ↗
← N 19.761534°
W 42.753296°		 ← 287.44 m → N 19.761534°
W 42.750549°		 →
↑
287.40 m
↓
↑
287.40 m
↓
N 19.758949°
W 42.753296°		 ← 287.44 m →
82 609 m²		 N 19.758949°
W 42.750549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381244659423828 y=0.443988800048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381244659423828 × 217)
    floor (0.381244659423828 × 131072)
    floor (49970.5)     		tx = 49970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443988800048828 × 217)
    floor (0.443988800048828 × 131072)
    floor (58194.5)     		ty = 58194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49970 / 58194 ti = "17/49970/58194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49970/58194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49970 ÷ 217
    49970 ÷ 131072     		x = 0.381240844726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58194 ÷ 217
    58194 ÷ 131072     		y = 0.443984985351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381240844726562 × 2 - 1) × π
    -0.237518310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74618578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443984985351562 × 2 - 1) × π
    0.112030029296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.351952717010452
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74618578} λ = -0.74618578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.351952717010452))-π/2
    2×atan(1.42184129322215)-π/2
    2×0.957850079947155-π/2
    1.91570015989431-1.57079632675     		φ = 0.34490383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74618578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.753296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34490383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.761534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49970 KachelY 58194 -0.74618578 0.34490383 -42.753296 19.761534
    Oben rechts KachelX + 1 49971 KachelY 58194 -0.74613784 0.34490383 -42.750549 19.761534
    Unten links KachelX 49970 KachelY + 1 58195 -0.74618578 0.34485872 -42.753296 19.758949
    Unten rechts KachelX + 1 49971 KachelY + 1 58195 -0.74613784 0.34485872 -42.750549 19.758949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34490383-0.34485872) × R
    4.51100000000149e-05 × 6371000     		dl = 287.395810000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34490383-0.34485872) × R
    4.51100000000149e-05 × 6371000     		dr = 287.395810000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74618578--0.74613784) × cos(0.34490383) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941107972629066 × 6371000     		do = 287.438598959944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74618578--0.74613784) × cos(0.34485872) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941123223640965 × 6371000     		du = 287.443257011539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34490383)-sin(0.34485872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941107972629066-0.941123223640965)×R²
    abs(-0.74613784--0.74618578)×1.52510118983651e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52510118983651e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52510118983651e-05×40589641000000     		ar = 82609.3183396207m²