Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4997 / 5267
↖ ↑ ↗
← S 45.675482°
E 39.594726°		 ← 3 414.34 m → S 45.675482°
E 39.638672°		 →
↑
3 413.39 m
↓
↑
3 413.39 m
↓
S 45.706179°
E 39.594726°		 ← 3 412.47 m →
11 651 287 m²		 S 45.706179°
E 39.638672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.61004638671875 y=0.64300537109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.61004638671875 × 213)
    floor (0.61004638671875 × 8192)
    floor (4997.5)     		tx = 4997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64300537109375 × 213)
    floor (0.64300537109375 × 8192)
    floor (5267.5)     		ty = 5267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4997 / 5267 ti = "13/4997/5267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4997/5267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4997 ÷ 213
    4997 ÷ 8192     		x = 0.6099853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5267 ÷ 213
    5267 ÷ 8192     		y = 0.6429443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6099853515625 × 2 - 1) × π
    0.219970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69105834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6429443359375 × 2 - 1) × π
    -0.285888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.898145751281372
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69105834} λ = 0.69105834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.898145751281372))-π/2
    2×atan(0.4073242403851)-π/2
    2×0.386804387706259-π/2
    0.773608775412518-1.57079632675     		φ = -0.79718755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69105834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.594726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79718755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.675482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4997 KachelY 5267 0.69105834 -0.79718755 39.594726 -45.675482
    Oben rechts KachelX + 1 4998 KachelY 5267 0.69182534 -0.79718755 39.638672 -45.675482
    Unten links KachelX 4997 KachelY + 1 5268 0.69105834 -0.79772332 39.594726 -45.706179
    Unten rechts KachelX + 1 4998 KachelY + 1 5268 0.69182534 -0.79772332 39.638672 -45.706179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79718755--0.79772332) × R
    0.000535770000000046 × 6371000     		dl = 3413.3906700003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79718755--0.79772332) × R
    0.000535770000000046 × 6371000     		dr = 3413.3906700003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69105834-0.69182534) × cos(-0.79718755) × R
    0.000766999999999962 × 0.698721479395608 × 6371000     		do = 3414.3423361908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69105834-0.69182534) × cos(-0.79772332) × R
    0.000766999999999962 × 0.698338092591969 × 6371000     		du = 3412.46889472177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79718755)-sin(-0.79772332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698721479395608-0.698338092591969)×R²
    abs(0.69182534-0.69105834)×0.000383386803639252×R²
    0.000766999999999962×0.000383386803639252×6371000²
    0.000766999999999962×0.000383386803639252×40589641000000     		ar = 11651287.1594335m²