Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49969 / 49966
↖ ↑ ↗
← S 68.232749°
E 94.487915°		 ← 226.50 m → S 68.232749°
E 94.493408°		 →
↑
226.49 m
↓
↑
226.49 m
↓
S 68.234786°
E 94.487915°		 ← 226.48 m →
51 298 m²		 S 68.234786°
E 94.493408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762474060058594 y=0.762428283691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762474060058594 × 216)
    floor (0.762474060058594 × 65536)
    floor (49969.5)     		tx = 49969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762428283691406 × 216)
    floor (0.762428283691406 × 65536)
    floor (49966.5)     		ty = 49966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49969 / 49966 ti = "16/49969/49966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49969/49966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49969 ÷ 216
    49969 ÷ 65536     		x = 0.762466430664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49966 ÷ 216
    49966 ÷ 65536     		y = 0.762420654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762466430664062 × 2 - 1) × π
    0.524932861328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.64912522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762420654296875 × 2 - 1) × π
    -0.52484130859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64883759933145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64912522} λ = 1.64912522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64883759933145))-π/2
    2×atan(0.192273277359764)-π/2
    2×0.189955100110911-π/2
    0.379910200221822-1.57079632675     		φ = -1.19088613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64912522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.487915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19088613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.232749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49969 KachelY 49966 1.64912522 -1.19088613 94.487915 -68.232749
    Oben rechts KachelX + 1 49970 KachelY 49966 1.64922109 -1.19088613 94.493408 -68.232749
    Unten links KachelX 49969 KachelY + 1 49967 1.64912522 -1.19092168 94.487915 -68.234786
    Unten rechts KachelX + 1 49970 KachelY + 1 49967 1.64922109 -1.19092168 94.493408 -68.234786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19088613--1.19092168) × R
    3.55499999999953e-05 × 6371000     		dl = 226.48904999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19088613--1.19092168) × R
    3.55499999999953e-05 × 6371000     		dr = 226.48904999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64912522-1.64922109) × cos(-1.19088613) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.370837070856688 × 6371000     		do = 226.502747541884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64912522-1.64922109) × cos(-1.19092168) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.370804055410536 × 6371000     		du = 226.482582111153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19088613)-sin(-1.19092168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370837070856688-0.370804055410536)×R²
    abs(1.64922109-1.64912522)×3.30154461521404e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.30154461521404e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.30154461521404e-05×40589641000000     		ar = 51298.1084939551m²