Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 49969 / 49788
↖ ↑ ↗
← S 67.867265°
E 94.487915°		 ← 230.12 m → S 67.867265°
E 94.493408°		 →
↑
230.12 m
↓
↑
230.12 m
↓
S 67.869334°
E 94.487915°		 ← 230.10 m →
52 952 m²		 S 67.869334°
E 94.493408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762474060058594 y=0.759712219238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762474060058594 × 216)
    floor (0.762474060058594 × 65536)
    floor (49969.5)     		tx = 49969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759712219238281 × 216)
    floor (0.759712219238281 × 65536)
    floor (49788.5)     		ty = 49788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49969 / 49788 ti = "16/49969/49788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49969/49788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49969 ÷ 216
    49969 ÷ 65536     		x = 0.762466430664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49788 ÷ 216
    49788 ÷ 65536     		y = 0.75970458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762466430664062 × 2 - 1) × π
    0.524932861328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.64912522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75970458984375 × 2 - 1) × π
    -0.5194091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.63177206306671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64912522} λ = 1.64912522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63177206306671))-π/2
    2×atan(0.19558268201305)-π/2
    2×0.193144553130583-π/2
    0.386289106261166-1.57079632675     		φ = -1.18450722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64912522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.487915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18450722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.867265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49969 KachelY 49788 1.64912522 -1.18450722 94.487915 -67.867265
    Oben rechts KachelX + 1 49970 KachelY 49788 1.64922109 -1.18450722 94.493408 -67.867265
    Unten links KachelX 49969 KachelY + 1 49789 1.64912522 -1.18454334 94.487915 -67.869334
    Unten rechts KachelX + 1 49970 KachelY + 1 49789 1.64922109 -1.18454334 94.493408 -67.869334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18450722--1.18454334) × R
    3.61200000000839e-05 × 6371000     		dl = 230.120520000534m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18450722--1.18454334) × R
    3.61200000000839e-05 × 6371000     		dr = 230.120520000534m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64912522-1.64922109) × cos(-1.18450722) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.376753566522303 × 6371000     		do = 230.116470735699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64912522-1.64922109) × cos(-1.18454334) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.376720107831952 × 6371000     		du = 230.096034576832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18450722)-sin(-1.18454334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376753566522303-0.376720107831952)×R²
    abs(1.64922109-1.64912522)×3.34586903509293e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.34586903509293e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.34586903509293e-05×40589641000000     		ar = 52952.1705225261m²