Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49965 / 58337
↖ ↑ ↗
← N 19.391477°
W 42.767029°		 ← 288.04 m → N 19.391477°
W 42.764282°		 →
↑
288.03 m
↓
↑
288.03 m
↓
N 19.388887°
W 42.767029°		 ← 288.04 m →
82 966 m²		 N 19.388887°
W 42.764282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381206512451172 y=0.445079803466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381206512451172 × 217)
    floor (0.381206512451172 × 131072)
    floor (49965.5)     		tx = 49965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445079803466797 × 217)
    floor (0.445079803466797 × 131072)
    floor (58337.5)     		ty = 58337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49965 / 58337 ti = "17/49965/58337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49965/58337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49965 ÷ 217
    49965 ÷ 131072     		x = 0.381202697753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58337 ÷ 217
    58337 ÷ 131072     		y = 0.445075988769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381202697753906 × 2 - 1) × π
    -0.237594604492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.74642546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445075988769531 × 2 - 1) × π
    0.109848022460938 × 3.1415926535     		Φ = 0.345097740364784
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74642546} λ = -0.74642546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.345097740364784))-π/2
    2×atan(1.41212793482219)-π/2
    2×0.954620724868764-π/2
    1.90924144973753-1.57079632675     		φ = 0.33844512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74642546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.767029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33844512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.391477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49965 KachelY 58337 -0.74642546 0.33844512 -42.767029 19.391477
    Oben rechts KachelX + 1 49966 KachelY 58337 -0.74637753 0.33844512 -42.764282 19.391477
    Unten links KachelX 49965 KachelY + 1 58338 -0.74642546 0.33839991 -42.767029 19.388887
    Unten rechts KachelX + 1 49966 KachelY + 1 58338 -0.74637753 0.33839991 -42.764282 19.388887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33844512-0.33839991) × R
    4.52099999999622e-05 × 6371000     		dl = 288.032909999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33844512-0.33839991) × R
    4.52099999999622e-05 × 6371000     		dr = 288.032909999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74642546--0.74637753) × cos(0.33844512) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.943272058103201 × 6371000     		do = 288.039470504848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74642546--0.74637753) × cos(0.33839991) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.943287067800436 × 6371000     		du = 288.044053896465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33844512)-sin(0.33839991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943272058103201-0.943287067800436)×R²
    abs(-0.74637753--0.74642546)×1.50096972345581e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50096972345581e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50096972345581e-05×40589641000000     		ar = 82965.5069822241m²