Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49964 / 58334
↖ ↑ ↗
← N 19.399249°
W 42.769775°		 ← 288.09 m → N 19.399249°
W 42.767029°		 →
↑
288.03 m
↓
↑
288.03 m
↓
N 19.396659°
W 42.769775°		 ← 288.09 m →
82 979 m²		 N 19.396659°
W 42.767029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381198883056641 y=0.445056915283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381198883056641 × 217)
    floor (0.381198883056641 × 131072)
    floor (49964.5)     		tx = 49964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445056915283203 × 217)
    floor (0.445056915283203 × 131072)
    floor (58334.5)     		ty = 58334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49964 / 58334 ti = "17/49964/58334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49964/58334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49964 ÷ 217
    49964 ÷ 131072     		x = 0.381195068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58334 ÷ 217
    58334 ÷ 131072     		y = 0.445053100585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381195068359375 × 2 - 1) × π
    -0.23760986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74647340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445053100585938 × 2 - 1) × π
    0.109893798828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.345241551063644
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74647340} λ = -0.74647340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.345241551063644))-π/2
    2×atan(1.41233102853056)-π/2
    2×0.954688549556167-π/2
    1.90937709911233-1.57079632675     		φ = 0.33858077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74647340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.769775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33858077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.399249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49964 KachelY 58334 -0.74647340 0.33858077 -42.769775 19.399249
    Oben rechts KachelX + 1 49965 KachelY 58334 -0.74642546 0.33858077 -42.767029 19.399249
    Unten links KachelX 49964 KachelY + 1 58335 -0.74647340 0.33853556 -42.769775 19.396659
    Unten rechts KachelX + 1 49965 KachelY + 1 58335 -0.74642546 0.33853556 -42.767029 19.396659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33858077-0.33853556) × R
    4.52099999999622e-05 × 6371000     		dl = 288.032909999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33858077-0.33853556) × R
    4.52099999999622e-05 × 6371000     		dr = 288.032909999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74647340--0.74642546) × cos(0.33858077) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.943227010800673 × 6371000     		do = 288.085807761595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74647340--0.74642546) × cos(0.33853556) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.943242026282655 × 6371000     		du = 288.09039387629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33858077)-sin(0.33853556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943227010800673-0.943242026282655)×R²
    abs(-0.74642546--0.74647340)×1.50154819814619e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50154819814619e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50154819814619e-05×40589641000000     		ar = 82978.854029303m²