Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49963 / 83883
↖ ↑ ↗
← S 44.923973°
W 42.772522°		 ← 216.25 m → S 44.923973°
W 42.769775°		 →
↑
216.23 m
↓
↑
216.23 m
↓
S 44.925918°
W 42.772522°		 ← 216.25 m →
46 760 m²		 S 44.925918°
W 42.769775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381191253662109 y=0.639980316162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381191253662109 × 217)
    floor (0.381191253662109 × 131072)
    floor (49963.5)     		tx = 49963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639980316162109 × 217)
    floor (0.639980316162109 × 131072)
    floor (83883.5)     		ty = 83883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49963 / 83883 ti = "17/49963/83883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49963/83883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49963 ÷ 217
    49963 ÷ 131072     		x = 0.381187438964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83883 ÷ 217
    83883 ÷ 131072     		y = 0.639976501464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381187438964844 × 2 - 1) × π
    -0.237625122070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.74652134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639976501464844 × 2 - 1) × π
    -0.279953002929688 × 3.1415926535     		Φ = -0.87949829732917
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74652134} λ = -0.74652134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87949829732917))-π/2
    2×atan(0.414991061586502)-π/2
    2×0.39336253631577-π/2
    0.78672507263154-1.57079632675     		φ = -0.78407125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74652134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.772522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78407125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.923973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49963 KachelY 83883 -0.74652134 -0.78407125 -42.772522 -44.923973
    Oben rechts KachelX + 1 49964 KachelY 83883 -0.74647340 -0.78407125 -42.769775 -44.923973
    Unten links KachelX 49963 KachelY + 1 83884 -0.74652134 -0.78410519 -42.772522 -44.925918
    Unten rechts KachelX + 1 49964 KachelY + 1 83884 -0.74647340 -0.78410519 -42.769775 -44.925918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78407125--0.78410519) × R
    3.39400000000101e-05 × 6371000     		dl = 216.231740000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78407125--0.78410519) × R
    3.39400000000101e-05 × 6371000     		dr = 216.231740000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74652134--0.74647340) × cos(-0.78407125) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.708044427871527 × 6371000     		do = 216.254993335897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74652134--0.74647340) × cos(-0.78410519) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.708020460125556 × 6371000     		du = 216.247672969347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78407125)-sin(-0.78410519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708044427871527-0.708020460125556)×R²
    abs(-0.74647340--0.74652134)×2.39677459715759e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39677459715759e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39677459715759e-05×40589641000000     		ar = 46760.4020494408m²