Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49962 / 58430
↖ ↑ ↗
← N 19.150357°
W 42.775268°		 ← 288.46 m → N 19.150357°
W 42.772522°		 →
↑
288.48 m
↓
↑
288.48 m
↓
N 19.147763°
W 42.775268°		 ← 288.47 m →
83 216 m²		 N 19.147763°
W 42.772522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381183624267578 y=0.445789337158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381183624267578 × 217)
    floor (0.381183624267578 × 131072)
    floor (49962.5)     		tx = 49962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445789337158203 × 217)
    floor (0.445789337158203 × 131072)
    floor (58430.5)     		ty = 58430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49962 / 58430 ti = "17/49962/58430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49962/58430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49962 ÷ 217
    49962 ÷ 131072     		x = 0.381179809570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58430 ÷ 217
    58430 ÷ 131072     		y = 0.445785522460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381179809570312 × 2 - 1) × π
    -0.237640380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.74656927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445785522460938 × 2 - 1) × π
    0.108428955078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.340639608700119
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74656927} λ = -0.74656927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.340639608700119))-π/2
    2×atan(1.40584649470854)-π/2
    2×0.952516558658201-π/2
    1.9050331173164-1.57079632675     		φ = 0.33423679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74656927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.775268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33423679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.150357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49962 KachelY 58430 -0.74656927 0.33423679 -42.775268 19.150357
    Oben rechts KachelX + 1 49963 KachelY 58430 -0.74652134 0.33423679 -42.772522 19.150357
    Unten links KachelX 49962 KachelY + 1 58431 -0.74656927 0.33419151 -42.775268 19.147763
    Unten rechts KachelX + 1 49963 KachelY + 1 58431 -0.74652134 0.33419151 -42.772522 19.147763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33423679-0.33419151) × R
    4.52799999999809e-05 × 6371000     		dl = 288.478879999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33423679-0.33419151) × R
    4.52799999999809e-05 × 6371000     		dr = 288.478879999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74656927--0.74652134) × cos(0.33423679) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.94466095447189 × 6371000     		do = 288.463586718782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74656927--0.74652134) × cos(0.33419151) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.944675807530083 × 6371000     		du = 288.468122278784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33423679)-sin(0.33419151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94466095447189-0.944675807530083)×R²
    abs(-0.74652134--0.74656927)×1.48530581932649e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.48530581932649e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.48530581932649e-05×40589641000000     		ar = 83216.3066382471m²