Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49962 / 58331
↖ ↑ ↗
← N 19.407021°
W 42.775268°		 ← 288.01 m → N 19.407021°
W 42.772522°		 →
↑
288.10 m
↓
↑
288.10 m
↓
N 19.404430°
W 42.775268°		 ← 288.02 m →
82 976 m²		 N 19.404430°
W 42.772522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381183624267578 y=0.445034027099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381183624267578 × 217)
    floor (0.381183624267578 × 131072)
    floor (49962.5)     		tx = 49962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445034027099609 × 217)
    floor (0.445034027099609 × 131072)
    floor (58331.5)     		ty = 58331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49962 / 58331 ti = "17/49962/58331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49962/58331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49962 ÷ 217
    49962 ÷ 131072     		x = 0.381179809570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58331 ÷ 217
    58331 ÷ 131072     		y = 0.445030212402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381179809570312 × 2 - 1) × π
    -0.237640380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.74656927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445030212402344 × 2 - 1) × π
    0.109939575195312 × 3.1415926535     		Φ = 0.345385361762505
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74656927} λ = -0.74656927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.345385361762505))-π/2
    2×atan(1.41253415144806)-π/2
    2×0.954756371003896-π/2
    1.90951274200779-1.57079632675     		φ = 0.33871642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74656927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.775268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33871642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.407021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49962 KachelY 58331 -0.74656927 0.33871642 -42.775268 19.407021
    Oben rechts KachelX + 1 49963 KachelY 58331 -0.74652134 0.33871642 -42.772522 19.407021
    Unten links KachelX 49962 KachelY + 1 58332 -0.74656927 0.33867120 -42.775268 19.404430
    Unten rechts KachelX + 1 49963 KachelY + 1 58332 -0.74652134 0.33867120 -42.772522 19.404430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33871642-0.33867120) × R
    4.52200000000125e-05 × 6371000     		dl = 288.096620000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33871642-0.33867120) × R
    4.52200000000125e-05 × 6371000     		dr = 288.096620000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74656927--0.74652134) × cos(0.33871642) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.943181946141898 × 6371000     		do = 288.01195373275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74656927--0.74652134) × cos(0.33867120) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.94319697073069 × 6371000     		du = 288.016541671683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33871642)-sin(0.33867120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943181946141898-0.94319697073069)×R²
    abs(-0.74652134--0.74656927)×1.50245887927669e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.50245887927669e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.50245887927669e-05×40589641000000     		ar = 82975.9312890038m²