Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49961 / 58422
↖ ↑ ↗
← N 19.171113°
W 42.778015°		 ← 288.49 m → N 19.171113°
W 42.775268°		 →
↑
288.48 m
↓
↑
288.48 m
↓
N 19.168518°
W 42.778015°		 ← 288.49 m →
83 223 m²		 N 19.168518°
W 42.775268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381175994873047 y=0.445728302001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381175994873047 × 217)
    floor (0.381175994873047 × 131072)
    floor (49961.5)     		tx = 49961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445728302001953 × 217)
    floor (0.445728302001953 × 131072)
    floor (58422.5)     		ty = 58422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49961 / 58422 ti = "17/49961/58422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49961/58422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49961 ÷ 217
    49961 ÷ 131072     		x = 0.381172180175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58422 ÷ 217
    58422 ÷ 131072     		y = 0.445724487304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381172180175781 × 2 - 1) × π
    -0.237655639648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.74661721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445724487304688 × 2 - 1) × π
    0.108551025390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.341023103897079
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74661721} λ = -0.74661721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.341023103897079))-π/2
    2×atan(1.40638573347805)-π/2
    2×0.952697683730151-π/2
    1.9053953674603-1.57079632675     		φ = 0.33459904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74661721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.778015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33459904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.171113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49961 KachelY 58422 -0.74661721 0.33459904 -42.778015 19.171113
    Oben rechts KachelX + 1 49962 KachelY 58422 -0.74656927 0.33459904 -42.775268 19.171113
    Unten links KachelX 49961 KachelY + 1 58423 -0.74661721 0.33455376 -42.778015 19.168518
    Unten rechts KachelX + 1 49962 KachelY + 1 58423 -0.74656927 0.33455376 -42.775268 19.168518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33459904-0.33455376) × R
    4.52800000000364e-05 × 6371000     		dl = 288.478880000232m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33459904-0.33455376) × R
    4.52800000000364e-05 × 6371000     		dr = 288.478880000232m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74661721--0.74656927) × cos(0.33459904) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.944542056999551 × 6371000     		do = 288.487456720689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74661721--0.74656927) × cos(0.33455376) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.944556925551863 × 6371000     		du = 288.491997959281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33459904)-sin(0.33455376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944542056999551-0.944556925551863)×R²
    abs(-0.74656927--0.74661721)×1.48685523115866e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.48685523115866e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.48685523115866e-05×40589641000000     		ar = 83223.1934488044m²