Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49961 / 50231
↖ ↑ ↗
← S 68.766246°
E 94.443970°		 ← 221.21 m → S 68.766246°
E 94.449463°		 →
↑
221.20 m
↓
↑
221.20 m
↓
S 68.768235°
E 94.443970°		 ← 221.19 m →
48 930 m²		 S 68.768235°
E 94.449463°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762351989746094 y=0.766471862792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762351989746094 × 216)
    floor (0.762351989746094 × 65536)
    floor (49961.5)     		tx = 49961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766471862792969 × 216)
    floor (0.766471862792969 × 65536)
    floor (50231.5)     		ty = 50231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49961 / 50231 ti = "16/49961/50231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49961/50231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49961 ÷ 216
    49961 ÷ 65536     		x = 0.762344360351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50231 ÷ 216
    50231 ÷ 65536     		y = 0.766464233398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762344360351562 × 2 - 1) × π
    0.524688720703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.64835823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766464233398438 × 2 - 1) × π
    -0.532928466796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.67424415613008
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64835823} λ = 1.64835823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67424415613008))-π/2
    2×atan(0.187449808739264)-π/2
    2×0.185299462903044-π/2
    0.370598925806088-1.57079632675     		φ = -1.20019740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64835823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.443970°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20019740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.766246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49961 KachelY 50231 1.64835823 -1.20019740 94.443970 -68.766246
    Oben rechts KachelX + 1 49962 KachelY 50231 1.64845410 -1.20019740 94.449463 -68.766246
    Unten links KachelX 49961 KachelY + 1 50232 1.64835823 -1.20023212 94.443970 -68.768235
    Unten rechts KachelX + 1 49962 KachelY + 1 50232 1.64845410 -1.20023212 94.449463 -68.768235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20019740--1.20023212) × R
    3.47199999999326e-05 × 6371000     		dl = 221.20111999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20019740--1.20023212) × R
    3.47199999999326e-05 × 6371000     		dr = 221.20111999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64835823-1.64845410) × cos(-1.20019740) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.362173762902345 × 6371000     		do = 221.211304995627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64835823-1.64845410) × cos(-1.20023212) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.362141399804119 × 6371000     		du = 221.191538011032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20019740)-sin(-1.20023212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362173762902345-0.362141399804119)×R²
    abs(1.64845410-1.64835823)×3.23630982255185e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.23630982255185e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.23630982255185e-05×40589641000000     		ar = 48930.0021868353m²