Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49958 / 83885
↖ ↑ ↗
← S 44.927863°
W 42.786255°		 ← 216.20 m → S 44.927863°
W 42.783509°		 →
↑
216.23 m
↓
↑
216.23 m
↓
S 44.929807°
W 42.786255°		 ← 216.19 m →
46 747 m²		 S 44.929807°
W 42.783509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381153106689453 y=0.639995574951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381153106689453 × 217)
    floor (0.381153106689453 × 131072)
    floor (49958.5)     		tx = 49958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639995574951172 × 217)
    floor (0.639995574951172 × 131072)
    floor (83885.5)     		ty = 83885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49958 / 83885 ti = "17/49958/83885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49958/83885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49958 ÷ 217
    49958 ÷ 131072     		x = 0.381149291992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83885 ÷ 217
    83885 ÷ 131072     		y = 0.639991760253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381149291992188 × 2 - 1) × π
    -0.237701416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.74676102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639991760253906 × 2 - 1) × π
    -0.279983520507812 × 3.1415926535     		Φ = -0.87959417112841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74676102} λ = -0.74676102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87959417112841))-π/2
    2×atan(0.414951276723971)-π/2
    2×0.393328596010215-π/2
    0.78665719202043-1.57079632675     		φ = -0.78413913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74676102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.786255°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78413913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.927863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49958 KachelY 83885 -0.74676102 -0.78413913 -42.786255 -44.927863
    Oben rechts KachelX + 1 49959 KachelY 83885 -0.74671309 -0.78413913 -42.783509 -44.927863
    Unten links KachelX 49958 KachelY + 1 83886 -0.74676102 -0.78417307 -42.786255 -44.929807
    Unten rechts KachelX + 1 49959 KachelY + 1 83886 -0.74671309 -0.78417307 -42.783509 -44.929807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78413913--0.78417307) × R
    3.39400000000101e-05 × 6371000     		dl = 216.231740000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78413913--0.78417307) × R
    3.39400000000101e-05 × 6371000     		dr = 216.231740000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74676102--0.74671309) × cos(-0.78413913) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.707996491563999 × 6371000     		do = 216.195245896993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74676102--0.74671309) × cos(-0.78417307) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.707972522186884 × 6371000     		du = 216.187926559339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78413913)-sin(-0.78417307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707996491563999-0.707972522186884)×R²
    abs(-0.74671309--0.74676102)×2.39693771149074e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39693771149074e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39693771149074e-05×40589641000000     		ar = 46747.4828679422m²