Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49953 / 83898
↖ ↑ ↗
← S 44.953137°
W 42.799988°		 ← 216.15 m → S 44.953137°
W 42.797241°		 →
↑
216.10 m
↓
↑
216.10 m
↓
S 44.955080°
W 42.799988°		 ← 216.14 m →
46 709 m²		 S 44.955080°
W 42.797241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381114959716797 y=0.640094757080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381114959716797 × 217)
    floor (0.381114959716797 × 131072)
    floor (49953.5)     		tx = 49953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640094757080078 × 217)
    floor (0.640094757080078 × 131072)
    floor (83898.5)     		ty = 83898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49953 / 83898 ti = "17/49953/83898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49953/83898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49953 ÷ 217
    49953 ÷ 131072     		x = 0.381111145019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83898 ÷ 217
    83898 ÷ 131072     		y = 0.640090942382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381111145019531 × 2 - 1) × π
    -0.237777709960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.74700071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640090942382812 × 2 - 1) × π
    -0.280181884765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.880217350823471
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74700071} λ = -0.74700071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.880217350823471))-π/2
    2×atan(0.414692768070915)-π/2
    2×0.393108040036402-π/2
    0.786216080072805-1.57079632675     		φ = -0.78458025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74700071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.799988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78458025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.953137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49953 KachelY 83898 -0.74700071 -0.78458025 -42.799988 -44.953137
    Oben rechts KachelX + 1 49954 KachelY 83898 -0.74695277 -0.78458025 -42.797241 -44.953137
    Unten links KachelX 49953 KachelY + 1 83899 -0.74700071 -0.78461417 -42.799988 -44.955080
    Unten rechts KachelX + 1 49954 KachelY + 1 83899 -0.74695277 -0.78461417 -42.797241 -44.955080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78458025--0.78461417) × R
    3.39200000000206e-05 × 6371000     		dl = 216.104320000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78458025--0.78461417) × R
    3.39200000000206e-05 × 6371000     		dr = 216.104320000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74700071--0.74695277) × cos(-0.78458025) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.707684896710866 × 6371000     		do = 216.145183264598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74700071--0.74695277) × cos(-0.78461417) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.707660930867457 × 6371000     		du = 216.13786347914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78458025)-sin(-0.78461417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707684896710866-0.707660930867457)×R²
    abs(-0.74695277--0.74700071)×2.39658434082468e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39658434082468e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39658434082468e-05×40589641000000     		ar = 46709.1169363933m²