Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49953 / 83896
↖ ↑ ↗
← S 44.949249°
W 42.799988°		 ← 216.16 m → S 44.949249°
W 42.797241°		 →
↑
216.10 m
↓
↑
216.10 m
↓
S 44.951193°
W 42.799988°		 ← 216.15 m →
46 712 m²		 S 44.951193°
W 42.797241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381114959716797 y=0.640079498291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381114959716797 × 217)
    floor (0.381114959716797 × 131072)
    floor (49953.5)     		tx = 49953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640079498291016 × 217)
    floor (0.640079498291016 × 131072)
    floor (83896.5)     		ty = 83896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49953 / 83896 ti = "17/49953/83896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49953/83896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49953 ÷ 217
    49953 ÷ 131072     		x = 0.381111145019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83896 ÷ 217
    83896 ÷ 131072     		y = 0.64007568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381111145019531 × 2 - 1) × π
    -0.237777709960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.74700071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64007568359375 × 2 - 1) × π
    -0.2801513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.880121477024231
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74700071} λ = -0.74700071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.880121477024231))-π/2
    2×atan(0.414732528148051)-π/2
    2×0.393141965405341-π/2
    0.786283930810683-1.57079632675     		φ = -0.78451240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74700071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.799988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78451240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.949249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49953 KachelY 83896 -0.74700071 -0.78451240 -42.799988 -44.949249
    Oben rechts KachelX + 1 49954 KachelY 83896 -0.74695277 -0.78451240 -42.797241 -44.949249
    Unten links KachelX 49953 KachelY + 1 83897 -0.74700071 -0.78454632 -42.799988 -44.951193
    Unten rechts KachelX + 1 49954 KachelY + 1 83897 -0.74695277 -0.78454632 -42.797241 -44.951193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78451240--0.78454632) × R
    3.39200000000206e-05 × 6371000     		dl = 216.104320000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78451240--0.78454632) × R
    3.39200000000206e-05 × 6371000     		dr = 216.104320000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74700071--0.74695277) × cos(-0.78451240) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.707732833019741 × 6371000     		do = 216.159824247209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74700071--0.74695277) × cos(-0.78454632) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.707708868805077 × 6371000     		du = 216.152504959212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78451240)-sin(-0.78454632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707732833019741-0.707708868805077)×R²
    abs(-0.74695277--0.74700071)×2.39642146637742e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39642146637742e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39642146637742e-05×40589641000000     		ar = 46712.2809699158m²