Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49952 / 58397
↖ ↑ ↗
← N 19.235957°
W 42.802734°		 ← 288.31 m → N 19.235957°
W 42.799988°		 →
↑
288.35 m
↓
↑
288.35 m
↓
N 19.233364°
W 42.802734°		 ← 288.32 m →
83 136 m²		 N 19.233364°
W 42.799988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381107330322266 y=0.445537567138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381107330322266 × 217)
    floor (0.381107330322266 × 131072)
    floor (49952.5)     		tx = 49952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445537567138672 × 217)
    floor (0.445537567138672 × 131072)
    floor (58397.5)     		ty = 58397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49952 / 58397 ti = "17/49952/58397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49952/58397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49952 ÷ 217
    49952 ÷ 131072     		x = 0.381103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58397 ÷ 217
    58397 ÷ 131072     		y = 0.445533752441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381103515625 × 2 - 1) × π
    -0.23779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74704864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445533752441406 × 2 - 1) × π
    0.108932495117188 × 3.1415926535     		Φ = 0.342221526387581
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74704864} λ = -0.74704864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.342221526387581))-π/2
    2×atan(1.40807218811211)-π/2
    2×0.953263552475079-π/2
    1.90652710495016-1.57079632675     		φ = 0.33573078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74704864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.802734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33573078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.235957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49952 KachelY 58397 -0.74704864 0.33573078 -42.802734 19.235957
    Oben rechts KachelX + 1 49953 KachelY 58397 -0.74700071 0.33573078 -42.799988 19.235957
    Unten links KachelX 49952 KachelY + 1 58398 -0.74704864 0.33568552 -42.802734 19.233364
    Unten rechts KachelX + 1 49953 KachelY + 1 58398 -0.74700071 0.33568552 -42.799988 19.233364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33573078-0.33568552) × R
    4.52599999999914e-05 × 6371000     		dl = 288.351459999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33573078-0.33568552) × R
    4.52599999999914e-05 × 6371000     		dr = 288.351459999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74704864--0.74700071) × cos(0.33573078) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.944169799543917 × 6371000     		do = 288.3136066536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74704864--0.74700071) × cos(0.33568552) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.944184709901982 × 6371000     		du = 288.318159710807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33573078)-sin(0.33568552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944169799543917-0.944184709901982)×R²
    abs(-0.74700071--0.74704864)×1.49103580647791e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.49103580647791e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.49103580647791e-05×40589641000000     		ar = 83136.3058709901m²