Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49952 / 48480
↖ ↑ ↗
← S 64.997939°
E 94.394531°		 ← 258.15 m → S 64.997939°
E 94.400024°		 →
↑
258.15 m
↓
↑
258.15 m
↓
S 65.000261°
E 94.394531°		 ← 258.13 m →
66 639 m²		 S 65.000261°
E 94.400024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762214660644531 y=0.739753723144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762214660644531 × 216)
    floor (0.762214660644531 × 65536)
    floor (49952.5)     		tx = 49952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739753723144531 × 216)
    floor (0.739753723144531 × 65536)
    floor (48480.5)     		ty = 48480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49952 / 48480 ti = "16/49952/48480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49952/48480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49952 ÷ 216
    49952 ÷ 65536     		x = 0.76220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48480 ÷ 216
    48480 ÷ 65536     		y = 0.73974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76220703125 × 2 - 1) × π
    0.5244140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.64749537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73974609375 × 2 - 1) × π
    -0.4794921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.50636913366064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64749537} λ = 1.64749537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50636913366064))-π/2
    2×atan(0.221713530475488)-π/2
    2×0.218184140375644-π/2
    0.436368280751288-1.57079632675     		φ = -1.13442805
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64749537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.394531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13442805 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.997939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49952 KachelY 48480 1.64749537 -1.13442805 94.394531 -64.997939
    Oben rechts KachelX + 1 49953 KachelY 48480 1.64759124 -1.13442805 94.400024 -64.997939
    Unten links KachelX 49952 KachelY + 1 48481 1.64749537 -1.13446857 94.394531 -65.000261
    Unten rechts KachelX + 1 49953 KachelY + 1 48481 1.64759124 -1.13446857 94.400024 -65.000261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13442805--1.13446857) × R
    4.05199999999883e-05 × 6371000     		dl = 258.152919999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13442805--1.13446857) × R
    4.05199999999883e-05 × 6371000     		dr = 258.152919999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64749537-1.64759124) × cos(-1.13442805) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.422650855736037 × 6371000     		do = 258.1499736636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64749537-1.64759124) × cos(-1.13446857) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.422614132413433 × 6371000     		du = 258.12754350728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13442805)-sin(-1.13446857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422650855736037-0.422614132413433)×R²
    abs(1.64759124-1.64749537)×3.67233226041819e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.67233226041819e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.67233226041819e-05×40589641000000     		ar = 66639.274303116m²