Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49951 / 58405
↖ ↑ ↗
← N 19.215209°
W 42.805481°		 ← 288.41 m → N 19.215209°
W 42.802734°		 →
↑
288.42 m
↓
↑
288.42 m
↓
N 19.212616°
W 42.805481°		 ← 288.41 m →
83 183 m²		 N 19.212616°
W 42.802734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381099700927734 y=0.445598602294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381099700927734 × 217)
    floor (0.381099700927734 × 131072)
    floor (49951.5)     		tx = 49951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445598602294922 × 217)
    floor (0.445598602294922 × 131072)
    floor (58405.5)     		ty = 58405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49951 / 58405 ti = "17/49951/58405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49951/58405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49951 ÷ 217
    49951 ÷ 131072     		x = 0.381095886230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58405 ÷ 217
    58405 ÷ 131072     		y = 0.445594787597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381095886230469 × 2 - 1) × π
    -0.237808227539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.74709658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445594787597656 × 2 - 1) × π
    0.108810424804688 × 3.1415926535     		Φ = 0.34183803119062
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74709658} λ = -0.74709658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.34183803119062))-π/2
    2×atan(1.40753230271934)-π/2
    2×0.953082498749829-π/2
    1.90616499749966-1.57079632675     		φ = 0.33536867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74709658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.805481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33536867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.215209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49951 KachelY 58405 -0.74709658 0.33536867 -42.805481 19.215209
    Oben rechts KachelX + 1 49952 KachelY 58405 -0.74704864 0.33536867 -42.802734 19.215209
    Unten links KachelX 49951 KachelY + 1 58406 -0.74709658 0.33532340 -42.805481 19.212616
    Unten rechts KachelX + 1 49952 KachelY + 1 58406 -0.74704864 0.33532340 -42.802734 19.212616
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33536867-0.33532340) × R
    4.52699999999862e-05 × 6371000     		dl = 288.415169999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33536867-0.33532340) × R
    4.52699999999862e-05 × 6371000     		dr = 288.415169999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74709658--0.74704864) × cos(0.33536867) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.944289038124555 × 6371000     		do = 288.410178242891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74709658--0.74704864) × cos(0.33532340) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.944303936298175 × 6371000     		du = 288.414728528594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33536867)-sin(0.33532340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944289038124555-0.944303936298175)×R²
    abs(-0.74704864--0.74709658)×1.48981736193265e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48981736193265e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48981736193265e-05×40589641000000     		ar = 83182.5267874737m²