Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49951 / 58399
↖ ↑ ↗
← N 19.230770°
W 42.805481°		 ← 288.38 m → N 19.230770°
W 42.802734°		 →
↑
288.42 m
↓
↑
288.42 m
↓
N 19.228177°
W 42.805481°		 ← 288.39 m →
83 175 m²		 N 19.228177°
W 42.802734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381099700927734 y=0.445552825927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381099700927734 × 217)
    floor (0.381099700927734 × 131072)
    floor (49951.5)     		tx = 49951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445552825927734 × 217)
    floor (0.445552825927734 × 131072)
    floor (58399.5)     		ty = 58399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49951 / 58399 ti = "17/49951/58399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49951/58399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49951 ÷ 217
    49951 ÷ 131072     		x = 0.381095886230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58399 ÷ 217
    58399 ÷ 131072     		y = 0.445549011230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381095886230469 × 2 - 1) × π
    -0.237808227539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.74709658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445549011230469 × 2 - 1) × π
    0.108901977539062 × 3.1415926535     		Φ = 0.342125652588341
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74709658} λ = -0.74709658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.342125652588341))-π/2
    2×atan(1.40793719735298)-π/2
    2×0.953218291187387-π/2
    1.90643658237477-1.57079632675     		φ = 0.33564026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74709658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.805481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33564026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.230770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49951 KachelY 58399 -0.74709658 0.33564026 -42.805481 19.230770
    Oben rechts KachelX + 1 49952 KachelY 58399 -0.74704864 0.33564026 -42.802734 19.230770
    Unten links KachelX 49951 KachelY + 1 58400 -0.74709658 0.33559499 -42.805481 19.228177
    Unten rechts KachelX + 1 49952 KachelY + 1 58400 -0.74704864 0.33559499 -42.802734 19.228177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33564026-0.33559499) × R
    4.52700000000417e-05 × 6371000     		dl = 288.415170000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33564026-0.33559499) × R
    4.52700000000417e-05 × 6371000     		dr = 288.415170000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74709658--0.74704864) × cos(0.33564026) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.944199618325915 × 6371000     		do = 288.382867134721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74709658--0.74704864) × cos(0.33559499) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.944214528108996 × 6371000     		du = 288.387420966252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33564026)-sin(0.33559499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944199618325915-0.944214528108996)×R²
    abs(-0.74704864--0.74709658)×1.49097830810518e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49097830810518e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49097830810518e-05×40589641000000     		ar = 83174.6503611143m²