Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49950 / 58398
↖ ↑ ↗
← N 19.233364°
W 42.808228°		 ← 288.38 m → N 19.233364°
W 42.805481°		 →
↑
288.35 m
↓
↑
288.35 m
↓
N 19.230770°
W 42.808228°		 ← 288.38 m →
83 155 m²		 N 19.230770°
W 42.805481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381092071533203 y=0.445545196533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381092071533203 × 217)
    floor (0.381092071533203 × 131072)
    floor (49950.5)     		tx = 49950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445545196533203 × 217)
    floor (0.445545196533203 × 131072)
    floor (58398.5)     		ty = 58398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49950 / 58398 ti = "17/49950/58398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49950/58398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49950 ÷ 217
    49950 ÷ 131072     		x = 0.381088256835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58398 ÷ 217
    58398 ÷ 131072     		y = 0.445541381835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381088256835938 × 2 - 1) × π
    -0.237823486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74714452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445541381835938 × 2 - 1) × π
    0.108917236328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.342173589487961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74714452} λ = -0.74714452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.342173589487961))-π/2
    2×atan(1.40800469111479)-π/2
    2×0.953240922009915-π/2
    1.90648184401983-1.57079632675     		φ = 0.33568552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74714452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.808228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33568552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.233364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49950 KachelY 58398 -0.74714452 0.33568552 -42.808228 19.233364
    Oben rechts KachelX + 1 49951 KachelY 58398 -0.74709658 0.33568552 -42.805481 19.233364
    Unten links KachelX 49950 KachelY + 1 58399 -0.74714452 0.33564026 -42.808228 19.230770
    Unten rechts KachelX + 1 49951 KachelY + 1 58399 -0.74709658 0.33564026 -42.805481 19.230770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33568552-0.33564026) × R
    4.52599999999914e-05 × 6371000     		dl = 288.351459999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33568552-0.33564026) × R
    4.52599999999914e-05 × 6371000     		dr = 288.351459999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74714452--0.74709658) × cos(0.33568552) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.944184709901982 × 6371000     		do = 288.378313718309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74714452--0.74709658) × cos(0.33564026) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.944199618325915 × 6371000     		du = 288.382867134721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33568552)-sin(0.33564026))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944184709901982-0.944199618325915)×R²
    abs(-0.74709658--0.74714452)×1.49084239330355e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49084239330355e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49084239330355e-05×40589641000000     		ar = 83154.9642992808m²