Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49950 / 48910
↖ ↑ ↗
← S 65.977798°
E 94.383545°		 ← 248.65 m → S 65.977798°
E 94.389038°		 →
↑
248.66 m
↓
↑
248.66 m
↓
S 65.980034°
E 94.383545°		 ← 248.62 m →
61 826 m²		 S 65.980034°
E 94.389038°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762184143066406 y=0.746315002441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762184143066406 × 216)
    floor (0.762184143066406 × 65536)
    floor (49950.5)     		tx = 49950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746315002441406 × 216)
    floor (0.746315002441406 × 65536)
    floor (48910.5)     		ty = 48910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49950 / 48910 ti = "16/49950/48910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49950/48910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49950 ÷ 216
    49950 ÷ 65536     		x = 0.762176513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48910 ÷ 216
    48910 ÷ 65536     		y = 0.746307373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762176513671875 × 2 - 1) × π
    0.52435302734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.64730362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746307373046875 × 2 - 1) × π
    -0.49261474609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54759486733389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64730362} λ = 1.64730362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54759486733389))-π/2
    2×atan(0.212759072745884)-π/2
    2×0.209633259332136-π/2
    0.419266518664272-1.57079632675     		φ = -1.15152981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64730362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.383545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15152981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.977798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49950 KachelY 48910 1.64730362 -1.15152981 94.383545 -65.977798
    Oben rechts KachelX + 1 49951 KachelY 48910 1.64739949 -1.15152981 94.389038 -65.977798
    Unten links KachelX 49950 KachelY + 1 48911 1.64730362 -1.15156884 94.383545 -65.980034
    Unten rechts KachelX + 1 49951 KachelY + 1 48911 1.64739949 -1.15156884 94.389038 -65.980034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15152981--1.15156884) × R
    3.90299999999399e-05 × 6371000     		dl = 248.660129999617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15152981--1.15156884) × R
    3.90299999999399e-05 × 6371000     		dr = 248.660129999617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64730362-1.64739949) × cos(-1.15152981) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.407090608030068 × 6371000     		do = 248.645964666624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64730362-1.64739949) × cos(-1.15156884) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.407054958194951 × 6371000     		du = 248.624190183332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15152981)-sin(-1.15156884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407090608030068-0.407054958194951)×R²
    abs(1.64739949-1.64730362)×3.56498351174461e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.56498351174461e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.56498351174461e-05×40589641000000     		ar = 61825.6306830745m²