Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49948 / 83907
↖ ↑ ↗
← S 44.970628°
W 42.813721°		 ← 216.08 m → S 44.970628°
W 42.810974°		 →
↑
216.04 m
↓
↑
216.04 m
↓
S 44.972571°
W 42.813721°		 ← 216.07 m →
46 681 m²		 S 44.972571°
W 42.810974°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381076812744141 y=0.640163421630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381076812744141 × 217)
    floor (0.381076812744141 × 131072)
    floor (49948.5)     		tx = 49948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640163421630859 × 217)
    floor (0.640163421630859 × 131072)
    floor (83907.5)     		ty = 83907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49948 / 83907 ti = "17/49948/83907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49948/83907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49948 ÷ 217
    49948 ÷ 131072     		x = 0.381072998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83907 ÷ 217
    83907 ÷ 131072     		y = 0.640159606933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381072998046875 × 2 - 1) × π
    -0.23785400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.74724039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640159606933594 × 2 - 1) × π
    -0.280319213867188 × 3.1415926535     		Φ = -0.880648782920052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74724039} λ = -0.74724039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.880648782920052))-π/2
    2×atan(0.414513894889139)-π/2
    2×0.392955404313232-π/2
    0.785910808626465-1.57079632675     		φ = -0.78488552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74724039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.813721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78488552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.970628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49948 KachelY 83907 -0.74724039 -0.78488552 -42.813721 -44.970628
    Oben rechts KachelX + 1 49949 KachelY 83907 -0.74719245 -0.78488552 -42.810974 -44.970628
    Unten links KachelX 49948 KachelY + 1 83908 -0.74724039 -0.78491943 -42.813721 -44.972571
    Unten rechts KachelX + 1 49949 KachelY + 1 83908 -0.74719245 -0.78491943 -42.810974 -44.972571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78488552--0.78491943) × R
    3.39099999999704e-05 × 6371000     		dl = 216.040609999811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78488552--0.78491943) × R
    3.39099999999704e-05 × 6371000     		dr = 216.040609999811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74724039--0.74719245) × cos(-0.78488552) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.707469181878357 × 6371000     		do = 216.07929840225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74724039--0.74719245) × cos(-0.78491943) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.707445215775966 × 6371000     		du = 216.071978537692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78488552)-sin(-0.78491943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707469181878357-0.707445215775966)×R²
    abs(-0.74719245--0.74724039)×2.39661023916371e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39661023916371e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39661023916371e-05×40589641000000     		ar = 46681.1127456424m²