Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49947 / 83915
↖ ↑ ↗
← S 44.986170°
W 42.816467°		 ← 216.02 m → S 44.986170°
W 42.813721°		 →
↑
216.04 m
↓
↑
216.04 m
↓
S 44.988113°
W 42.816467°		 ← 216.01 m →
46 668 m²		 S 44.988113°
W 42.813721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381069183349609 y=0.640224456787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381069183349609 × 217)
    floor (0.381069183349609 × 131072)
    floor (49947.5)     		tx = 49947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640224456787109 × 217)
    floor (0.640224456787109 × 131072)
    floor (83915.5)     		ty = 83915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49947 / 83915 ti = "17/49947/83915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49947/83915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49947 ÷ 217
    49947 ÷ 131072     		x = 0.381065368652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83915 ÷ 217
    83915 ÷ 131072     		y = 0.640220642089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381065368652344 × 2 - 1) × π
    -0.237869262695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.74728833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640220642089844 × 2 - 1) × π
    -0.280441284179688 × 3.1415926535     		Φ = -0.881032278117012
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74728833} λ = -0.74728833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.881032278117012))-π/2
    2×atan(0.414354961278462)-π/2
    2×0.392819767179924-π/2
    0.785639534359848-1.57079632675     		φ = -0.78515679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74728833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.816467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78515679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.986170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49947 KachelY 83915 -0.74728833 -0.78515679 -42.816467 -44.986170
    Oben rechts KachelX + 1 49948 KachelY 83915 -0.74724039 -0.78515679 -42.813721 -44.986170
    Unten links KachelX 49947 KachelY + 1 83916 -0.74728833 -0.78519070 -42.816467 -44.988113
    Unten rechts KachelX + 1 49948 KachelY + 1 83916 -0.74724039 -0.78519070 -42.813721 -44.988113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78515679--0.78519070) × R
    3.39099999999704e-05 × 6371000     		dl = 216.040609999811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78515679--0.78519070) × R
    3.39099999999704e-05 × 6371000     		dr = 216.040609999811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74728833--0.74724039) × cos(-0.78515679) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.707277437352609 × 6371000     		do = 216.020734688582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74728833--0.74724039) × cos(-0.78519070) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.707253464743366 × 6371000     		du = 216.013412836665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78515679)-sin(-0.78519070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707277437352609-0.707253464743366)×R²
    abs(-0.74724039--0.74728833)×2.39726092428061e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39726092428061e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39726092428061e-05×40589641000000     		ar = 46668.4603904311m²