Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49944 / 58413
↖ ↑ ↗
← N 19.194460°
W 42.824707°		 ← 288.45 m → N 19.194460°
W 42.821960°		 →
↑
288.42 m
↓
↑
288.42 m
↓
N 19.191866°
W 42.824707°		 ← 288.45 m →
83 193 m²		 N 19.191866°
W 42.821960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381046295166016 y=0.445659637451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381046295166016 × 217)
    floor (0.381046295166016 × 131072)
    floor (49944.5)     		tx = 49944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445659637451172 × 217)
    floor (0.445659637451172 × 131072)
    floor (58413.5)     		ty = 58413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49944 / 58413 ti = "17/49944/58413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49944/58413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49944 ÷ 217
    49944 ÷ 131072     		x = 0.38104248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58413 ÷ 217
    58413 ÷ 131072     		y = 0.445655822753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38104248046875 × 2 - 1) × π
    -0.2379150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.74743214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445655822753906 × 2 - 1) × π
    0.108688354492188 × 3.1415926535     		Φ = 0.34145453599366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74743214} λ = -0.74743214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.34145453599366))-π/2
    2×atan(1.40699262433033)-π/2
    2×0.952901422171458-π/2
    1.90580284434292-1.57079632675     		φ = 0.33500652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74743214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.824707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33500652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.194460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49944 KachelY 58413 -0.74743214 0.33500652 -42.824707 19.194460
    Oben rechts KachelX + 1 49945 KachelY 58413 -0.74738420 0.33500652 -42.821960 19.194460
    Unten links KachelX 49944 KachelY + 1 58414 -0.74743214 0.33496125 -42.824707 19.191866
    Unten rechts KachelX + 1 49945 KachelY + 1 58414 -0.74738420 0.33496125 -42.821960 19.191866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33500652-0.33496125) × R
    4.52699999999862e-05 × 6371000     		dl = 288.415169999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33500652-0.33496125) × R
    4.52699999999862e-05 × 6371000     		dr = 288.415169999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74743214--0.74738420) × cos(0.33500652) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.944408166037582 × 6371000     		do = 288.446562973882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74743214--0.74738420) × cos(0.33496125) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.944423048728927 × 6371000     		du = 288.451108530899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33500652)-sin(0.33496125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944408166037582-0.944423048728927)×R²
    abs(-0.74738420--0.74743214)×1.48826913450861e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48826913450861e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48826913450861e-05×40589641000000     		ar = 83193.0200140178m²