Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49940 / 48900
↖ ↑ ↗
← S 65.955426°
E 94.328613°		 ← 248.86 m → S 65.955426°
E 94.334106°		 →
↑
248.91 m
↓
↑
248.91 m
↓
S 65.957664°
E 94.328613°		 ← 248.84 m →
61 943 m²		 S 65.957664°
E 94.334106°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762031555175781 y=0.746162414550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762031555175781 × 216)
    floor (0.762031555175781 × 65536)
    floor (49940.5)     		tx = 49940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746162414550781 × 216)
    floor (0.746162414550781 × 65536)
    floor (48900.5)     		ty = 48900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49940 / 48900 ti = "16/49940/48900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49940/48900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49940 ÷ 216
    49940 ÷ 65536     		x = 0.76202392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48900 ÷ 216
    48900 ÷ 65536     		y = 0.74615478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76202392578125 × 2 - 1) × π
    0.5240478515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.64634488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74615478515625 × 2 - 1) × π
    -0.4923095703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54663612934149
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64634488} λ = 1.64634488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54663612934149))-π/2
    2×atan(0.212963150765197)-π/2
    2×0.209828491413979-π/2
    0.419656982827959-1.57079632675     		φ = -1.15113934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64634488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.328613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15113934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.955426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49940 KachelY 48900 1.64634488 -1.15113934 94.328613 -65.955426
    Oben rechts KachelX + 1 49941 KachelY 48900 1.64644075 -1.15113934 94.334106 -65.955426
    Unten links KachelX 49940 KachelY + 1 48901 1.64634488 -1.15117841 94.328613 -65.957664
    Unten rechts KachelX + 1 49941 KachelY + 1 48901 1.64644075 -1.15117841 94.334106 -65.957664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15113934--1.15117841) × R
    3.90699999999189e-05 × 6371000     		dl = 248.914969999483m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15113934--1.15117841) × R
    3.90699999999189e-05 × 6371000     		dr = 248.914969999483m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64634488-1.64644075) × cos(-1.15113934) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.407447227513599 × 6371000     		do = 248.863783485709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64634488-1.64644075) × cos(-1.15117841) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.40741154735522 × 6371000     		du = 248.841990481339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15113934)-sin(-1.15117841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407447227513599-0.40741154735522)×R²
    abs(1.64644075-1.64634488)×3.56801583792921e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.56801583792921e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.56801583792921e-05×40589641000000     		ar = 61943.2089053769m²