Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49937 / 48879
↖ ↑ ↗
← S 65.908381°
E 94.312134°		 ← 249.32 m → S 65.908381°
E 94.317627°		 →
↑
249.30 m
↓
↑
249.30 m
↓
S 65.910623°
E 94.312134°		 ← 249.30 m →
62 152 m²		 S 65.910623°
E 94.317627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.761985778808594 y=0.745841979980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.761985778808594 × 216)
    floor (0.761985778808594 × 65536)
    floor (49937.5)     		tx = 49937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745841979980469 × 216)
    floor (0.745841979980469 × 65536)
    floor (48879.5)     		ty = 48879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49937 / 48879 ti = "16/49937/48879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49937/48879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49937 ÷ 216
    49937 ÷ 65536     		x = 0.761978149414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48879 ÷ 216
    48879 ÷ 65536     		y = 0.745834350585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.761978149414062 × 2 - 1) × π
    0.523956298828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.64605726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745834350585938 × 2 - 1) × π
    -0.491668701171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54462277955745
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64605726} λ = 1.64605726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54462277955745))-π/2
    2×atan(0.213392351999922)-π/2
    2×0.210239035565649-π/2
    0.420478071131298-1.57079632675     		φ = -1.15031826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64605726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.312134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15031826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.908381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49937 KachelY 48879 1.64605726 -1.15031826 94.312134 -65.908381
    Oben rechts KachelX + 1 49938 KachelY 48879 1.64615313 -1.15031826 94.317627 -65.908381
    Unten links KachelX 49937 KachelY + 1 48880 1.64605726 -1.15035739 94.312134 -65.910623
    Unten rechts KachelX + 1 49938 KachelY + 1 48880 1.64615313 -1.15035739 94.317627 -65.910623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15031826--1.15035739) × R
    3.91299999999983e-05 × 6371000     		dl = 249.297229999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15031826--1.15035739) × R
    3.91299999999983e-05 × 6371000     		dr = 249.297229999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64605726-1.64615313) × cos(-1.15031826) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.408196923949705 × 6371000     		do = 249.321688900094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64605726-1.64615313) × cos(-1.15035739) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.40816120209893 × 6371000     		du = 249.299870430519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15031826)-sin(-1.15035739))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408196923949705-0.40816120209893)×R²
    abs(1.64615313-1.64605726)×3.57218507751056e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.57218507751056e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.57218507751056e-05×40589641000000     		ar = 62152.48678771m²