Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 49936 / 50928
↖ ↑ ↗
← S 70.110485°
E 94.306641°		 ← 207.79 m → S 70.110485°
E 94.312134°		 →
↑
207.82 m
↓
↑
207.82 m
↓
S 70.112354°
E 94.306641°		 ← 207.78 m →
43 182 m²		 S 70.112354°
E 94.312134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.761970520019531 y=0.777107238769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.761970520019531 × 216)
    floor (0.761970520019531 × 65536)
    floor (49936.5)     		tx = 49936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777107238769531 × 216)
    floor (0.777107238769531 × 65536)
    floor (50928.5)     		ty = 50928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49936 / 50928 ti = "16/49936/50928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49936/50928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49936 ÷ 216
    49936 ÷ 65536     		x = 0.761962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50928 ÷ 216
    50928 ÷ 65536     		y = 0.777099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.761962890625 × 2 - 1) × π
    0.52392578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.64596139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777099609375 × 2 - 1) × π
    -0.55419921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.74106819420044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64596139} λ = 1.64596139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74106819420044))-π/2
    2×atan(0.175333010845151)-π/2
    2×0.173568763606483-π/2
    0.347137527212967-1.57079632675     		φ = -1.22365880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64596139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.306641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22365880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.110485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49936 KachelY 50928 1.64596139 -1.22365880 94.306641 -70.110485
    Oben rechts KachelX + 1 49937 KachelY 50928 1.64605726 -1.22365880 94.312134 -70.110485
    Unten links KachelX 49936 KachelY + 1 50929 1.64596139 -1.22369142 94.306641 -70.112354
    Unten rechts KachelX + 1 49937 KachelY + 1 50929 1.64605726 -1.22369142 94.312134 -70.112354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22365880--1.22369142) × R
    3.26200000000387e-05 × 6371000     		dl = 207.822020000247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22365880--1.22369142) × R
    3.26200000000387e-05 × 6371000     		dr = 207.822020000247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64596139-1.64605726) × cos(-1.22365880) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.340207477098405 × 6371000     		do = 207.794566274256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64596139-1.64605726) × cos(-1.22369142) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.3401768026874 × 6371000     		du = 207.775830719163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22365880)-sin(-1.22369142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340207477098405-0.3401768026874)×R²
    abs(1.64605726-1.64596139)×3.06744110048496e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.06744110048496e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.06744110048496e-05×40589641000000     		ar = 43182.3396814403m²