Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 4993 / 8830
↖ ↑ ↗
← N 63.558338°
W125.145263°		 ← 543.95 m → N 63.558338°
W125.134278°		 →
↑
544.02 m
↓
↑
544.02 m
↓
N 63.553446°
W125.145263°		 ← 544.04 m →
295 945 m²		 N 63.553446°
W125.134278°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.152389526367188 y=0.269485473632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.152389526367188 × 215)
    floor (0.152389526367188 × 32768)
    floor (4993.5)     		tx = 4993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269485473632812 × 215)
    floor (0.269485473632812 × 32768)
    floor (8830.5)     		ty = 8830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4993 / 8830 ti = "15/4993/8830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4993/8830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4993 ÷ 215
    4993 ÷ 32768     		x = 0.152374267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8830 ÷ 215
    8830 ÷ 32768     		y = 0.26947021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.152374267578125 × 2 - 1) × π
    -0.69525146484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.18419689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26947021484375 × 2 - 1) × π
    0.4610595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.44846135891962
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.18419689} λ = -2.18419689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44846135891962))-π/2
    2×atan(4.25656015574181)-π/2
    2×1.34004929630273-π/2
    2.68009859260546-1.57079632675     		φ = 1.10930227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.18419689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -125.145263°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10930227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.558338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4993 KachelY 8830 -2.18419689 1.10930227 -125.145263 63.558338
    Oben rechts KachelX + 1 4994 KachelY 8830 -2.18400515 1.10930227 -125.134278 63.558338
    Unten links KachelX 4993 KachelY + 1 8831 -2.18419689 1.10921688 -125.145263 63.553446
    Unten rechts KachelX + 1 4994 KachelY + 1 8831 -2.18400515 1.10921688 -125.134278 63.553446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10930227-1.10921688) × R
    8.5389999999963e-05 × 6371000     		dl = 544.019689999764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10930227-1.10921688) × R
    8.5389999999963e-05 × 6371000     		dr = 544.019689999764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.18419689--2.18400515) × cos(1.10930227) × R
    0.000191739999999996 × 0.445286364298313 × 6371000     		do = 543.950930922337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.18419689--2.18400515) × cos(1.10921688) × R
    0.000191739999999996 × 0.445362819874422 × 6371000     		du = 544.044327184007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10930227)-sin(1.10921688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445286364298313-0.445362819874422)×R²
    abs(-2.18400515--2.18419689)×7.64555761083585e-05×R²
    0.000191739999999996×7.64555761083585e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.64555761083585e-05×40589641000000     		ar = 295945.421698234m²