Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49928 / 48872
↖ ↑ ↗
← S 65.892680°
E 94.262695°		 ← 249.50 m → S 65.892680°
E 94.268189°		 →
↑
249.49 m
↓
↑
249.49 m
↓
S 65.894924°
E 94.262695°		 ← 249.48 m →
62 245 m²		 S 65.894924°
E 94.268189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.761848449707031 y=0.745735168457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.761848449707031 × 216)
    floor (0.761848449707031 × 65536)
    floor (49928.5)     		tx = 49928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745735168457031 × 216)
    floor (0.745735168457031 × 65536)
    floor (48872.5)     		ty = 48872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49928 / 48872 ti = "16/49928/48872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49928/48872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49928 ÷ 216
    49928 ÷ 65536     		x = 0.7618408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48872 ÷ 216
    48872 ÷ 65536     		y = 0.7457275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7618408203125 × 2 - 1) × π
    0.523681640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.64519439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7457275390625 × 2 - 1) × π
    -0.491455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54395166296277
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64519439} λ = 1.64519439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54395166296277))-π/2
    2×atan(0.213535611214969)-π/2
    2×0.210376051397697-π/2
    0.420752102795394-1.57079632675     		φ = -1.15004422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64519439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.262695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15004422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.892680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49928 KachelY 48872 1.64519439 -1.15004422 94.262695 -65.892680
    Oben rechts KachelX + 1 49929 KachelY 48872 1.64529027 -1.15004422 94.268189 -65.892680
    Unten links KachelX 49928 KachelY + 1 48873 1.64519439 -1.15008338 94.262695 -65.894924
    Unten rechts KachelX + 1 49929 KachelY + 1 48873 1.64529027 -1.15008338 94.268189 -65.894924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15004422--1.15008338) × R
    3.91600000000381e-05 × 6371000     		dl = 249.488360000242m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15004422--1.15008338) × R
    3.91600000000381e-05 × 6371000     		dr = 249.488360000242m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64519439-1.64529027) × cos(-1.15004422) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.408447078063352 × 6371000     		do = 249.500502137088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64519439-1.64529027) × cos(-1.15008338) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.408411333206958 × 6371000     		du = 249.478667338658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15004422)-sin(-1.15008338))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408447078063352-0.408411333206958)×R²
    abs(1.64529027-1.64519439)×3.57448563939045e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.57448563939045e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.57448563939045e-05×40589641000000     		ar = 62244.7473412384m²