Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49924 / 48868
↖ ↑ ↗
← S 65.883704°
E 94.240723°		 ← 249.56 m → S 65.883704°
E 94.246216°		 →
↑
249.55 m
↓
↑
249.55 m
↓
S 65.885948°
E 94.240723°		 ← 249.54 m →
62 276 m²		 S 65.885948°
E 94.246216°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.761787414550781 y=0.745674133300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.761787414550781 × 216)
    floor (0.761787414550781 × 65536)
    floor (49924.5)     		tx = 49924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745674133300781 × 216)
    floor (0.745674133300781 × 65536)
    floor (48868.5)     		ty = 48868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49924 / 48868 ti = "16/49924/48868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49924/48868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49924 ÷ 216
    49924 ÷ 65536     		x = 0.76177978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48868 ÷ 216
    48868 ÷ 65536     		y = 0.74566650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76177978515625 × 2 - 1) × π
    0.5235595703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.64481090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74566650390625 × 2 - 1) × π
    -0.4913330078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54356816776581
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64481090} λ = 1.64481090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54356816776581))-π/2
    2×atan(0.213617516800445)-π/2
    2×0.210454383852242-π/2
    0.420908767704485-1.57079632675     		φ = -1.14988756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64481090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.240723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14988756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.883704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49924 KachelY 48868 1.64481090 -1.14988756 94.240723 -65.883704
    Oben rechts KachelX + 1 49925 KachelY 48868 1.64490677 -1.14988756 94.246216 -65.883704
    Unten links KachelX 49924 KachelY + 1 48869 1.64481090 -1.14992673 94.240723 -65.885948
    Unten rechts KachelX + 1 49925 KachelY + 1 48869 1.64490677 -1.14992673 94.246216 -65.885948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14988756--1.14992673) × R
    3.91699999999773e-05 × 6371000     		dl = 249.552069999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14988756--1.14992673) × R
    3.91699999999773e-05 × 6371000     		dr = 249.552069999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64481090-1.64490677) × cos(-1.14988756) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.408590069479181 × 6371000     		do = 249.561817381328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64481090-1.64490677) × cos(-1.14992673) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.408554318001519 × 6371000     		du = 249.539980816013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14988756)-sin(-1.14992673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408590069479181-0.408554318001519)×R²
    abs(1.64490677-1.64481090)×3.57514776614942e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.57514776614942e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.57514776614942e-05×40589641000000     		ar = 62275.9434483417m²