Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49919 / 48862
↖ ↑ ↗
← S 65.870234°
E 94.213257°		 ← 249.69 m → S 65.870234°
E 94.218750°		 →
↑
249.68 m
↓
↑
249.68 m
↓
S 65.872479°
E 94.213257°		 ← 249.67 m →
62 340 m²		 S 65.872479°
E 94.218750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.761711120605469 y=0.745582580566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.761711120605469 × 216)
    floor (0.761711120605469 × 65536)
    floor (49919.5)     		tx = 49919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745582580566406 × 216)
    floor (0.745582580566406 × 65536)
    floor (48862.5)     		ty = 48862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49919 / 48862 ti = "16/49919/48862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49919/48862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49919 ÷ 216
    49919 ÷ 65536     		x = 0.761703491210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48862 ÷ 216
    48862 ÷ 65536     		y = 0.745574951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.761703491210938 × 2 - 1) × π
    0.523406982421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.64433153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745574951171875 × 2 - 1) × π
    -0.49114990234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54299292497037
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64433153} λ = 1.64433153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54299292497037))-π/2
    2×atan(0.213740434088217)-π/2
    2×0.210571933954504-π/2
    0.421143867909007-1.57079632675     		φ = -1.14965246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64433153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.213257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14965246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.870234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49919 KachelY 48862 1.64433153 -1.14965246 94.213257 -65.870234
    Oben rechts KachelX + 1 49920 KachelY 48862 1.64442740 -1.14965246 94.218750 -65.870234
    Unten links KachelX 49919 KachelY + 1 48863 1.64433153 -1.14969165 94.213257 -65.872479
    Unten rechts KachelX + 1 49920 KachelY + 1 48863 1.64442740 -1.14969165 94.218750 -65.872479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14965246--1.14969165) × R
    3.91900000000778e-05 × 6371000     		dl = 249.679490000495m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14965246--1.14969165) × R
    3.91900000000778e-05 × 6371000     		dr = 249.679490000495m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64433153-1.64442740) × cos(-1.14965246) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.408804638188186 × 6371000     		do = 249.692873324613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64433153-1.64442740) × cos(-1.14969165) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.40876887222124 × 6371000     		du = 249.671027909421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14965246)-sin(-1.14969165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408804638188186-0.40876887222124)×R²
    abs(1.64442740-1.64433153)×3.57659669453225e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.57659669453225e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.57659669453225e-05×40589641000000     		ar = 62340.4621004339m²