Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49916 / 83876
↖ ↑ ↗
← S 44.910359°
W 42.901611°		 ← 216.26 m → S 44.910359°
W 42.898865°		 →
↑
216.23 m
↓
↑
216.23 m
↓
S 44.912304°
W 42.901611°		 ← 216.25 m →
46 762 m²		 S 44.912304°
W 42.898865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380832672119141 y=0.639926910400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380832672119141 × 217)
    floor (0.380832672119141 × 131072)
    floor (49916.5)     		tx = 49916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639926910400391 × 217)
    floor (0.639926910400391 × 131072)
    floor (83876.5)     		ty = 83876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49916 / 83876 ti = "17/49916/83876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49916/83876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49916 ÷ 217
    49916 ÷ 131072     		x = 0.380828857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83876 ÷ 217
    83876 ÷ 131072     		y = 0.639923095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380828857421875 × 2 - 1) × π
    -0.23834228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.74877437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639923095703125 × 2 - 1) × π
    -0.27984619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.87916273903183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74877437} λ = -0.74877437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87916273903183))-π/2
    2×atan(0.415130338647019)-π/2
    2×0.393481345481471-π/2
    0.786962690962943-1.57079632675     		φ = -0.78383364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74877437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.901611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78383364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.910359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49916 KachelY 83876 -0.74877437 -0.78383364 -42.901611 -44.910359
    Oben rechts KachelX + 1 49917 KachelY 83876 -0.74872644 -0.78383364 -42.898865 -44.910359
    Unten links KachelX 49916 KachelY + 1 83877 -0.74877437 -0.78386758 -42.901611 -44.912304
    Unten rechts KachelX + 1 49917 KachelY + 1 83877 -0.74872644 -0.78386758 -42.898865 -44.912304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78383364--0.78386758) × R
    3.39400000000101e-05 × 6371000     		dl = 216.231740000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78383364--0.78386758) × R
    3.39400000000101e-05 × 6371000     		dr = 216.231740000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74877437--0.74872644) × cos(-0.78383364) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.708212200434605 × 6371000     		do = 216.26111519561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74877437--0.74872644) × cos(-0.78386758) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.708188238399226 × 6371000     		du = 216.253798099844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78383364)-sin(-0.78386758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708212200434605-0.708188238399226)×R²
    abs(-0.74872644--0.74877437)×2.39620353791326e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39620353791326e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39620353791326e-05×40589641000000     		ar = 46761.7261432262m²