Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49911 / 83868
↖ ↑ ↗
← S 44.894796°
W 42.915344°		 ← 216.36 m → S 44.894796°
W 42.912598°		 →
↑
216.36 m
↓
↑
216.36 m
↓
S 44.896741°
W 42.915344°		 ← 216.36 m →
46 812 m²		 S 44.896741°
W 42.912598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380794525146484 y=0.639865875244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380794525146484 × 217)
    floor (0.380794525146484 × 131072)
    floor (49911.5)     		tx = 49911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639865875244141 × 217)
    floor (0.639865875244141 × 131072)
    floor (83868.5)     		ty = 83868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49911 / 83868 ti = "17/49911/83868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49911/83868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49911 ÷ 217
    49911 ÷ 131072     		x = 0.380790710449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83868 ÷ 217
    83868 ÷ 131072     		y = 0.639862060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380790710449219 × 2 - 1) × π
    -0.238418579101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.74901406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639862060546875 × 2 - 1) × π
    -0.27972412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.878779243834869
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74901406} λ = -0.74901406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.878779243834869))-π/2
    2×atan(0.415289569668218)-π/2
    2×0.393617161854153-π/2
    0.787234323708306-1.57079632675     		φ = -0.78356200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74901406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.915344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78356200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.894796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49911 KachelY 83868 -0.74901406 -0.78356200 -42.915344 -44.894796
    Oben rechts KachelX + 1 49912 KachelY 83868 -0.74896612 -0.78356200 -42.912598 -44.894796
    Unten links KachelX 49911 KachelY + 1 83869 -0.74901406 -0.78359596 -42.915344 -44.896741
    Unten rechts KachelX + 1 49912 KachelY + 1 83869 -0.74896612 -0.78359596 -42.912598 -44.896741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78356200--0.78359596) × R
    3.39599999999995e-05 × 6371000     		dl = 216.359159999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78356200--0.78359596) × R
    3.39599999999995e-05 × 6371000     		dr = 216.359159999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74901406--0.74896612) × cos(-0.78356200) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.708403952043164 × 6371000     		do = 216.364801272067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74901406--0.74896612) × cos(-0.78359596) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.708379982421268 × 6371000     		du = 216.357480332562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78356200)-sin(-0.78359596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708403952043164-0.708379982421268)×R²
    abs(-0.74896612--0.74901406)×2.39696218959917e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39696218959917e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39696218959917e-05×40589641000000     		ar = 46811.7146849821m²