Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49911 / 57984
↖ ↑ ↗
← N 20.303418°
W 42.915344°		 ← 286.45 m → N 20.303418°
W 42.912598°		 →
↑
286.44 m
↓
↑
286.44 m
↓
N 20.300842°
W 42.915344°		 ← 286.45 m →
82 051 m²		 N 20.300842°
W 42.912598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380794525146484 y=0.442386627197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380794525146484 × 217)
    floor (0.380794525146484 × 131072)
    floor (49911.5)     		tx = 49911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442386627197266 × 217)
    floor (0.442386627197266 × 131072)
    floor (57984.5)     		ty = 57984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49911 / 57984 ti = "17/49911/57984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49911/57984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49911 ÷ 217
    49911 ÷ 131072     		x = 0.380790710449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57984 ÷ 217
    57984 ÷ 131072     		y = 0.4423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380790710449219 × 2 - 1) × π
    -0.238418579101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.74901406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4423828125 × 2 - 1) × π
    0.115234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.362019465930664
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74901406} λ = -0.74901406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.362019465930664))-π/2
    2×atan(1.43622689918148)-π/2
    2×0.962578905944964-π/2
    1.92515781188993-1.57079632675     		φ = 0.35436149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74901406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.915344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35436149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.303418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49911 KachelY 57984 -0.74901406 0.35436149 -42.915344 20.303418
    Oben rechts KachelX + 1 49912 KachelY 57984 -0.74896612 0.35436149 -42.912598 20.303418
    Unten links KachelX 49911 KachelY + 1 57985 -0.74901406 0.35431653 -42.915344 20.300842
    Unten rechts KachelX + 1 49912 KachelY + 1 57985 -0.74896612 0.35431653 -42.912598 20.300842
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35436149-0.35431653) × R
    4.49599999999828e-05 × 6371000     		dl = 286.44015999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35436149-0.35431653) × R
    4.49599999999828e-05 × 6371000     		dr = 286.44015999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74901406--0.74896612) × cos(0.35436149) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.93786823759148 × 6371000     		do = 286.449100489349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74901406--0.74896612) × cos(0.35431653) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.937883837385806 × 6371000     		du = 286.453865068075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35436149)-sin(0.35431653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93786823759148-0.937883837385806)×R²
    abs(-0.74896612--0.74901406)×1.55997943259711e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.55997943259711e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.55997943259711e-05×40589641000000     		ar = 82051.208573093m²