Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49910 / 83874
↖ ↑ ↗
← S 44.906468°
W 42.918091°		 ← 216.28 m → S 44.906468°
W 42.915344°		 →
↑
216.36 m
↓
↑
216.36 m
↓
S 44.908414°
W 42.918091°		 ← 216.27 m →
46 792 m²		 S 44.908414°
W 42.915344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380786895751953 y=0.639911651611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380786895751953 × 217)
    floor (0.380786895751953 × 131072)
    floor (49910.5)     		tx = 49910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639911651611328 × 217)
    floor (0.639911651611328 × 131072)
    floor (83874.5)     		ty = 83874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49910 / 83874 ti = "17/49910/83874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49910/83874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49910 ÷ 217
    49910 ÷ 131072     		x = 0.380783081054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83874 ÷ 217
    83874 ÷ 131072     		y = 0.639907836914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380783081054688 × 2 - 1) × π
    -0.238433837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.74906199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639907836914062 × 2 - 1) × π
    -0.279815673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.87906686523259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74906199} λ = -0.74906199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87906686523259))-π/2
    2×atan(0.415170140677721)-π/2
    2×0.393515296127742-π/2
    0.787030592255483-1.57079632675     		φ = -0.78376573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74906199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.918091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78376573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.906468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49910 KachelY 83874 -0.74906199 -0.78376573 -42.918091 -44.906468
    Oben rechts KachelX + 1 49911 KachelY 83874 -0.74901406 -0.78376573 -42.915344 -44.906468
    Unten links KachelX 49910 KachelY + 1 83875 -0.74906199 -0.78379969 -42.918091 -44.908414
    Unten rechts KachelX + 1 49911 KachelY + 1 83875 -0.74901406 -0.78379969 -42.915344 -44.908414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78376573--0.78379969) × R
    3.39599999999995e-05 × 6371000     		dl = 216.359159999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78376573--0.78379969) × R
    3.39599999999995e-05 × 6371000     		dr = 216.359159999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74906199--0.74901406) × cos(-0.78376573) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.708260143236463 × 6371000     		do = 216.275755106409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74906199--0.74901406) × cos(-0.78379969) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.708236168713934 × 6371000     		du = 216.268434197541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78376573)-sin(-0.78379969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708260143236463-0.708236168713934)×R²
    abs(-0.74901406--0.74906199)×2.39745225293353e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39745225293353e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39745225293353e-05×40589641000000     		ar = 46792.4487348076m²