Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4991 / 1175
↖ ↑ ↗
← N 77.851100°
E 39.331055°		 ← 1 028.38 m → N 77.851100°
E 39.375000°		 →
↑
1 028.79 m
↓
↑
1 028.79 m
↓
N 77.841848°
E 39.331055°		 ← 1 029.15 m →
1 058 380 m²		 N 77.841848°
E 39.375000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60931396484375 y=0.14349365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60931396484375 × 213)
    floor (0.60931396484375 × 8192)
    floor (4991.5)     		tx = 4991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14349365234375 × 213)
    floor (0.14349365234375 × 8192)
    floor (1175.5)     		ty = 1175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4991 / 1175 ti = "13/4991/1175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4991/1175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4991 ÷ 213
    4991 ÷ 8192     		x = 0.6092529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1175 ÷ 213
    1175 ÷ 8192     		y = 0.1434326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6092529296875 × 2 - 1) × π
    0.218505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68645640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1434326171875 × 2 - 1) × π
    0.713134765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.24037894064294
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68645640} λ = 0.68645640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24037894064294))-π/2
    2×atan(9.39689147694788)-π/2
    2×1.46477717091083-π/2
    2.92955434182166-1.57079632675     		φ = 1.35875802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68645640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.331055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35875802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.851100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4991 KachelY 1175 0.68645640 1.35875802 39.331055 77.851100
    Oben rechts KachelX + 1 4992 KachelY 1175 0.68722339 1.35875802 39.375000 77.851100
    Unten links KachelX 4991 KachelY + 1 1176 0.68645640 1.35859654 39.331055 77.841848
    Unten rechts KachelX + 1 4992 KachelY + 1 1176 0.68722339 1.35859654 39.375000 77.841848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35875802-1.35859654) × R
    0.000161480000000047 × 6371000     		dl = 1028.7890800003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35875802-1.35859654) × R
    0.000161480000000047 × 6371000     		dr = 1028.7890800003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68645640-0.68722339) × cos(1.35875802) × R
    0.000766990000000023 × 0.210452992481326 × 6371000     		do = 1028.37713562045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68645640-0.68722339) × cos(1.35859654) × R
    0.000766990000000023 × 0.210610853227156 × 6371000     		du = 1029.1485210957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35875802)-sin(1.35859654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210452992481326-0.210610853227156)×R²
    abs(0.68722339-0.68645640)×0.000157860745830102×R²
    0.000766990000000023×0.000157860745830102×6371000²
    0.000766990000000023×0.000157860745830102×40589641000000     		ar = 1058379.96602496m²