Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49908 / 83888
↖ ↑ ↗
← S 44.933697°
W 42.923584°		 ← 216.22 m → S 44.933697°
W 42.920837°		 →
↑
216.17 m
↓
↑
216.17 m
↓
S 44.935641°
W 42.923584°		 ← 216.21 m →
46 739 m²		 S 44.935641°
W 42.920837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380771636962891 y=0.640018463134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380771636962891 × 217)
    floor (0.380771636962891 × 131072)
    floor (49908.5)     		tx = 49908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640018463134766 × 217)
    floor (0.640018463134766 × 131072)
    floor (83888.5)     		ty = 83888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49908 / 83888 ti = "17/49908/83888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49908/83888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49908 ÷ 217
    49908 ÷ 131072     		x = 0.380767822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83888 ÷ 217
    83888 ÷ 131072     		y = 0.6400146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380767822265625 × 2 - 1) × π
    -0.23846435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74915787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6400146484375 × 2 - 1) × π
    -0.280029296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.87973798182727
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74915787} λ = -0.74915787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87973798182727))-π/2
    2×atan(0.414891606581577)-π/2
    2×0.393277689860518-π/2
    0.786555379721036-1.57079632675     		φ = -0.78424095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74915787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.923584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78424095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.933697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49908 KachelY 83888 -0.74915787 -0.78424095 -42.923584 -44.933697
    Oben rechts KachelX + 1 49909 KachelY 83888 -0.74910993 -0.78424095 -42.920837 -44.933697
    Unten links KachelX 49908 KachelY + 1 83889 -0.74915787 -0.78427488 -42.923584 -44.935641
    Unten rechts KachelX + 1 49909 KachelY + 1 83889 -0.74910993 -0.78427488 -42.920837 -44.935641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78424095--0.78427488) × R
    3.39299999999598e-05 × 6371000     		dl = 216.168029999744m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78424095--0.78427488) × R
    3.39299999999598e-05 × 6371000     		dr = 216.168029999744m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74915787--0.74910993) × cos(-0.78424095) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.707924580986091 × 6371000     		do = 216.218389011725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74915787--0.74910993) × cos(-0.78427488) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.707900616225589 × 6371000     		du = 216.211069557015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78424095)-sin(-0.78427488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707924580986091-0.707900616225589)×R²
    abs(-0.74910993--0.74915787)×2.39647605022597e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39647605022597e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39647605022597e-05×40589641000000     		ar = 46738.7120907657m²