Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49907 / 83889
↖ ↑ ↗
← S 44.935641°
W 42.926330°		 ← 216.17 m → S 44.935641°
W 42.923584°		 →
↑
216.23 m
↓
↑
216.23 m
↓
S 44.937585°
W 42.926330°		 ← 216.16 m →
46 741 m²		 S 44.937585°
W 42.923584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380764007568359 y=0.640026092529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380764007568359 × 217)
    floor (0.380764007568359 × 131072)
    floor (49907.5)     		tx = 49907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640026092529297 × 217)
    floor (0.640026092529297 × 131072)
    floor (83889.5)     		ty = 83889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49907 / 83889 ti = "17/49907/83889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49907/83889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49907 ÷ 217
    49907 ÷ 131072     		x = 0.380760192871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83889 ÷ 217
    83889 ÷ 131072     		y = 0.640022277832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380760192871094 × 2 - 1) × π
    -0.238479614257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.74920580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640022277832031 × 2 - 1) × π
    -0.280044555664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.879785918726891
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74920580} λ = -0.74920580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.879785918726891))-π/2
    2×atan(0.414871718440971)-π/2
    2×0.393260722292922-π/2
    0.786521444585845-1.57079632675     		φ = -0.78427488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74920580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.926330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78427488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.935641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49907 KachelY 83889 -0.74920580 -0.78427488 -42.926330 -44.935641
    Oben rechts KachelX + 1 49908 KachelY 83889 -0.74915787 -0.78427488 -42.923584 -44.935641
    Unten links KachelX 49907 KachelY + 1 83890 -0.74920580 -0.78430882 -42.926330 -44.937585
    Unten rechts KachelX + 1 49908 KachelY + 1 83890 -0.74915787 -0.78430882 -42.923584 -44.937585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78427488--0.78430882) × R
    3.39400000000101e-05 × 6371000     		dl = 216.231740000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78427488--0.78430882) × R
    3.39400000000101e-05 × 6371000     		dr = 216.231740000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74920580--0.74915787) × cos(-0.78427488) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.707900616225589 × 6371000     		do = 216.165969209029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74920580--0.74915787) × cos(-0.78430882) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.707876643586759 × 6371000     		du = 216.158648875371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78427488)-sin(-0.78430882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707900616225589-0.707876643586759)×R²
    abs(-0.74915787--0.74920580)×2.39726388300276e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39726388300276e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39726388300276e-05×40589641000000     		ar = 46741.1522112665m²