Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49905 / 57484
↖ ↑ ↗
← N 21.585935°
W 42.931824°		 ← 284.01 m → N 21.585935°
W 42.929077°		 →
↑
284.02 m
↓
↑
284.02 m
↓
N 21.583381°
W 42.931824°		 ← 284.01 m →
80 664 m²		 N 21.583381°
W 42.929077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380748748779297 y=0.438571929931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380748748779297 × 217)
    floor (0.380748748779297 × 131072)
    floor (49905.5)     		tx = 49905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438571929931641 × 217)
    floor (0.438571929931641 × 131072)
    floor (57484.5)     		ty = 57484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49905 / 57484 ti = "17/49905/57484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49905/57484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49905 ÷ 217
    49905 ÷ 131072     		x = 0.380744934082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57484 ÷ 217
    57484 ÷ 131072     		y = 0.438568115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380744934082031 × 2 - 1) × π
    -0.238510131835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.74930168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438568115234375 × 2 - 1) × π
    0.12286376953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.385987915740692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74930168} λ = -0.74930168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.385987915740692))-π/2
    2×atan(1.47106689395353)-π/2
    2×0.973770983329779-π/2
    1.94754196665956-1.57079632675     		φ = 0.37674564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74930168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.931824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37674564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.585935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49905 KachelY 57484 -0.74930168 0.37674564 -42.931824 21.585935
    Oben rechts KachelX + 1 49906 KachelY 57484 -0.74925374 0.37674564 -42.929077 21.585935
    Unten links KachelX 49905 KachelY + 1 57485 -0.74930168 0.37670106 -42.931824 21.583381
    Unten rechts KachelX + 1 49906 KachelY + 1 57485 -0.74925374 0.37670106 -42.929077 21.583381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37674564-0.37670106) × R
    4.45800000000163e-05 × 6371000     		dl = 284.019180000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37674564-0.37670106) × R
    4.45800000000163e-05 × 6371000     		dr = 284.019180000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74930168--0.74925374) × cos(0.37674564) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.929866824510859 × 6371000     		do = 284.005262977493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74930168--0.74925374) × cos(0.37670106) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.929883224403978 × 6371000     		du = 284.010271926985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37674564)-sin(0.37670106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929866824510859-0.929883224403978)×R²
    abs(-0.74925374--0.74930168)×1.63998931188569e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63998931188569e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63998931188569e-05×40589641000000     		ar = 80663.6532387413m²