Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49905 / 50929
↖ ↑ ↗
← S 70.112354°
E 94.136353°		 ← 207.78 m → S 70.112354°
E 94.141846°		 →
↑
207.76 m
↓
↑
207.76 m
↓
S 70.114222°
E 94.136353°		 ← 207.76 m →
43 165 m²		 S 70.114222°
E 94.141846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.761497497558594 y=0.777122497558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.761497497558594 × 216)
    floor (0.761497497558594 × 65536)
    floor (49905.5)     		tx = 49905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777122497558594 × 216)
    floor (0.777122497558594 × 65536)
    floor (50929.5)     		ty = 50929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49905 / 50929 ti = "16/49905/50929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49905/50929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49905 ÷ 216
    49905 ÷ 65536     		x = 0.761489868164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50929 ÷ 216
    50929 ÷ 65536     		y = 0.777114868164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.761489868164062 × 2 - 1) × π
    0.522979736328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.64298930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777114868164062 × 2 - 1) × π
    -0.554229736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.74116406799968
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64298930} λ = 1.64298930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74116406799968))-π/2
    2×atan(0.175316201809055)-π/2
    2×0.173552455849911-π/2
    0.347104911699823-1.57079632675     		φ = -1.22369142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64298930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.136353°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22369142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.112354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49905 KachelY 50929 1.64298930 -1.22369142 94.136353 -70.112354
    Oben rechts KachelX + 1 49906 KachelY 50929 1.64308517 -1.22369142 94.141846 -70.112354
    Unten links KachelX 49905 KachelY + 1 50930 1.64298930 -1.22372403 94.136353 -70.114222
    Unten rechts KachelX + 1 49906 KachelY + 1 50930 1.64308517 -1.22372403 94.141846 -70.114222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22369142--1.22372403) × R
    3.26100000000995e-05 × 6371000     		dl = 207.758310000634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22369142--1.22372403) × R
    3.26100000000995e-05 × 6371000     		dr = 207.758310000634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64298930-1.64308517) × cos(-1.22369142) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.3401768026874 × 6371000     		do = 207.775830719163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64298930-1.64308517) × cos(-1.22372403) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.340146137318151 × 6371000     		du = 207.757100686663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22369142)-sin(-1.22372403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3401768026874-0.340146137318151)×R²
    abs(1.64308517-1.64298930)×3.06653692490055e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.06653692490055e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.06653692490055e-05×40589641000000     		ar = 43165.2097929678m²