Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49904 / 50926
↖ ↑ ↗
← S 70.106747°
E 94.130859°		 ← 207.85 m → S 70.106747°
E 94.136353°		 →
↑
207.82 m
↓
↑
207.82 m
↓
S 70.108616°
E 94.130859°		 ← 207.83 m →
43 195 m²		 S 70.108616°
E 94.136353°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.761482238769531 y=0.777076721191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.761482238769531 × 216)
    floor (0.761482238769531 × 65536)
    floor (49904.5)     		tx = 49904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777076721191406 × 216)
    floor (0.777076721191406 × 65536)
    floor (50926.5)     		ty = 50926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49904 / 50926 ti = "16/49904/50926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49904/50926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49904 ÷ 216
    49904 ÷ 65536     		x = 0.761474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50926 ÷ 216
    50926 ÷ 65536     		y = 0.777069091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.761474609375 × 2 - 1) × π
    0.52294921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.64289342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777069091796875 × 2 - 1) × π
    -0.55413818359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.74087644660196
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64289342} λ = 1.64289342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74087644660196))-π/2
    2×atan(0.175366633752368)-π/2
    2×0.173601383530617-π/2
    0.347202767061234-1.57079632675     		φ = -1.22359356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64289342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.130859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22359356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.106747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49904 KachelY 50926 1.64289342 -1.22359356 94.130859 -70.106747
    Oben rechts KachelX + 1 49905 KachelY 50926 1.64298930 -1.22359356 94.136353 -70.106747
    Unten links KachelX 49904 KachelY + 1 50927 1.64289342 -1.22362618 94.130859 -70.108616
    Unten rechts KachelX + 1 49905 KachelY + 1 50927 1.64298930 -1.22362618 94.136353 -70.108616
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22359356--1.22362618) × R
    3.26199999998167e-05 × 6371000     		dl = 207.822019998832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22359356--1.22362618) × R
    3.26199999998167e-05 × 6371000     		dr = 207.822019998832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64289342-1.64298930) × cos(-1.22359356) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.340268824834374 × 6371000     		do = 207.853715247802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64289342-1.64298930) × cos(-1.22362618) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.340238151147407 × 6371000     		du = 207.834978180721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22359356)-sin(-1.22362618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340268824834374-0.340238151147407)×R²
    abs(1.64298930-1.64289342)×3.06736869666313e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.06736869666313e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.06736869666313e-05×40589641000000     		ar = 43194.6319832431m²