Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49900 / 82292
↖ ↑ ↗
← S 41.746726°
W 42.945556°		 ← 227.83 m → S 41.746726°
W 42.942810°		 →
↑
227.83 m
↓
↑
227.83 m
↓
S 41.748775°
W 42.945556°		 ← 227.82 m →
51 905 m²		 S 41.748775°
W 42.942810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380710601806641 y=0.627841949462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380710601806641 × 217)
    floor (0.380710601806641 × 131072)
    floor (49900.5)     		tx = 49900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627841949462891 × 217)
    floor (0.627841949462891 × 131072)
    floor (82292.5)     		ty = 82292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49900 / 82292 ti = "17/49900/82292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49900/82292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49900 ÷ 217
    49900 ÷ 131072     		x = 0.380706787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82292 ÷ 217
    82292 ÷ 131072     		y = 0.627838134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380706787109375 × 2 - 1) × π
    -0.23858642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74954136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627838134765625 × 2 - 1) × π
    -0.25567626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.803230690033661
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74954136} λ = -0.74954136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.803230690033661))-π/2
    2×atan(0.447879663891482)-π/2
    2×0.421089254472874-π/2
    0.842178508945749-1.57079632675     		φ = -0.72861782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74954136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.945556°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72861782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.746726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49900 KachelY 82292 -0.74954136 -0.72861782 -42.945556 -41.746726
    Oben rechts KachelX + 1 49901 KachelY 82292 -0.74949343 -0.72861782 -42.942810 -41.746726
    Unten links KachelX 49900 KachelY + 1 82293 -0.74954136 -0.72865358 -42.945556 -41.748775
    Unten rechts KachelX + 1 49901 KachelY + 1 82293 -0.74949343 -0.72865358 -42.942810 -41.748775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72861782--0.72865358) × R
    3.57600000000513e-05 × 6371000     		dl = 227.826960000327m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72861782--0.72865358) × R
    3.57600000000513e-05 × 6371000     		dr = 227.826960000327m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74954136--0.74949343) × cos(-0.72861782) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.746095424124991 × 6371000     		do = 227.829213284658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74954136--0.74949343) × cos(-0.72865358) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.746071613244124 × 6371000     		du = 227.82194234574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72861782)-sin(-0.72865358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746095424124991-0.746071613244124)×R²
    abs(-0.74949343--0.74954136)×2.38108808663373e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38108808663373e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38108808663373e-05×40589641000000     		ar = 51904.8088093469m²