Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49900 / 54140
↖ ↑ ↗
← N 29.850173°
W 42.945556°		 ← 264.85 m → N 29.850173°
W 42.942810°		 →
↑
264.84 m
↓
↑
264.84 m
↓
N 29.847791°
W 42.945556°		 ← 264.86 m →
70 144 m²		 N 29.847791°
W 42.942810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380710601806641 y=0.413059234619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380710601806641 × 217)
    floor (0.380710601806641 × 131072)
    floor (49900.5)     		tx = 49900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413059234619141 × 217)
    floor (0.413059234619141 × 131072)
    floor (54140.5)     		ty = 54140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49900 / 54140 ti = "17/49900/54140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49900/54140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49900 ÷ 217
    49900 ÷ 131072     		x = 0.380706787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54140 ÷ 217
    54140 ÷ 131072     		y = 0.413055419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380706787109375 × 2 - 1) × π
    -0.23858642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74954136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.413055419921875 × 2 - 1) × π
    0.17388916015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.54628890807016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74954136} λ = -0.74954136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.54628890807016))-π/2
    2×atan(1.72683267718618)-π/2
    2×1.04589006505748-π/2
    2.09178013011497-1.57079632675     		φ = 0.52098380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74954136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.945556°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52098380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.850173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49900 KachelY 54140 -0.74954136 0.52098380 -42.945556 29.850173
    Oben rechts KachelX + 1 49901 KachelY 54140 -0.74949343 0.52098380 -42.942810 29.850173
    Unten links KachelX 49900 KachelY + 1 54141 -0.74954136 0.52094223 -42.945556 29.847791
    Unten rechts KachelX + 1 49901 KachelY + 1 54141 -0.74949343 0.52094223 -42.942810 29.847791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52098380-0.52094223) × R
    4.15700000000463e-05 × 6371000     		dl = 264.842470000295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52098380-0.52094223) × R
    4.15700000000463e-05 × 6371000     		dr = 264.842470000295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74954136--0.74949343) × cos(0.52098380) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.867329929112132 × 6371000     		do = 264.849627833599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74954136--0.74949343) × cos(0.52094223) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.867350619150878 × 6371000     		du = 264.855945785831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52098380)-sin(0.52094223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867329929112132-0.867350619150878)×R²
    abs(-0.74949343--0.74954136)×2.06900387458298e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.06900387458298e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.06900387458298e-05×40589641000000     		ar = 70144.2662551841m²