Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4990 / 5261
↖ ↑ ↗
← S 45.490946°
E 39.287109°		 ← 3 425.54 m → S 45.490946°
E 39.331055°		 →
↑
3 424.60 m
↓
↑
3 424.60 m
↓
S 45.521744°
E 39.287109°		 ← 3 423.67 m →
11 727 906 m²		 S 45.521744°
E 39.331055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60919189453125 y=0.64227294921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60919189453125 × 213)
    floor (0.60919189453125 × 8192)
    floor (4990.5)     		tx = 4990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64227294921875 × 213)
    floor (0.64227294921875 × 8192)
    floor (5261.5)     		ty = 5261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4990 / 5261 ti = "13/4990/5261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4990/5261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4990 ÷ 213
    4990 ÷ 8192     		x = 0.609130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5261 ÷ 213
    5261 ÷ 8192     		y = 0.6422119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609130859375 × 2 - 1) × π
    0.21826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68568941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6422119140625 × 2 - 1) × π
    -0.284423828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.893543808917847
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68568941} λ = 0.68568941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.893543808917847))-π/2
    2×atan(0.40920304281712)-π/2
    2×0.388414772315261-π/2
    0.776829544630521-1.57079632675     		φ = -0.79396678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68568941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.287109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79396678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.490946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4990 KachelY 5261 0.68568941 -0.79396678 39.287109 -45.490946
    Oben rechts KachelX + 1 4991 KachelY 5261 0.68645640 -0.79396678 39.331055 -45.490946
    Unten links KachelX 4990 KachelY + 1 5262 0.68568941 -0.79450431 39.287109 -45.521744
    Unten rechts KachelX + 1 4991 KachelY + 1 5262 0.68645640 -0.79450431 39.331055 -45.521744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79396678--0.79450431) × R
    0.000537530000000008 × 6371000     		dl = 3424.60363000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79396678--0.79450431) × R
    0.000537530000000008 × 6371000     		dr = 3424.60363000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68568941-0.68645640) × cos(-0.79396678) × R
    0.000766989999999912 × 0.701021970271482 × 6371000     		do = 3425.53915387378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68568941-0.68645640) × cos(-0.79450431) × R
    0.000766989999999912 × 0.700638535043895 × 6371000     		du = 3423.66550020703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79396678)-sin(-0.79450431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701021970271482-0.700638535043895)×R²
    abs(0.68645640-0.68568941)×0.000383435227587658×R²
    0.000766989999999912×0.000383435227587658×6371000²
    0.000766989999999912×0.000383435227587658×40589641000000     		ar = 11727905.8428782m²