Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4990 / 5257
↖ ↑ ↗
← S 45.367584°
E 39.287109°		 ← 3 433.03 m → S 45.367584°
E 39.331055°		 →
↑
3 432.12 m
↓
↑
3 432.12 m
↓
S 45.398450°
E 39.287109°		 ← 3 431.16 m →
11 779 375 m²		 S 45.398450°
E 39.331055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60919189453125 y=0.64178466796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60919189453125 × 213)
    floor (0.60919189453125 × 8192)
    floor (4990.5)     		tx = 4990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64178466796875 × 213)
    floor (0.64178466796875 × 8192)
    floor (5257.5)     		ty = 5257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4990 / 5257 ti = "13/4990/5257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4990/5257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4990 ÷ 213
    4990 ÷ 8192     		x = 0.609130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5257 ÷ 213
    5257 ÷ 8192     		y = 0.6417236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609130859375 × 2 - 1) × π
    0.21826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68568941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6417236328125 × 2 - 1) × π
    -0.283447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.890475847342163
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68568941} λ = 0.68568941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.890475847342163))-π/2
    2×atan(0.410460389789014)-π/2
    2×0.389491302950018-π/2
    0.778982605900035-1.57079632675     		φ = -0.79181372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68568941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.287109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79181372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.367584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4990 KachelY 5257 0.68568941 -0.79181372 39.287109 -45.367584
    Oben rechts KachelX + 1 4991 KachelY 5257 0.68645640 -0.79181372 39.331055 -45.367584
    Unten links KachelX 4990 KachelY + 1 5258 0.68568941 -0.79235243 39.287109 -45.398450
    Unten rechts KachelX + 1 4991 KachelY + 1 5258 0.68645640 -0.79235243 39.331055 -45.398450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79181372--0.79235243) × R
    0.000538709999999942 × 6371000     		dl = 3432.12140999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79181372--0.79235243) × R
    0.000538709999999942 × 6371000     		dr = 3432.12140999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68568941-0.68645640) × cos(-0.79181372) × R
    0.000766989999999912 × 0.702555776743856 × 6371000     		do = 3433.0340889092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68568941-0.68645640) × cos(-0.79235243) × R
    0.000766989999999912 × 0.702172313331486 × 6371000     		du = 3431.16029751769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79181372)-sin(-0.79235243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702555776743856-0.702172313331486)×R²
    abs(0.68645640-0.68568941)×0.000383463412369611×R²
    0.000766989999999912×0.000383463412369611×6371000²
    0.000766989999999912×0.000383463412369611×40589641000000     		ar = 11779374.5428994m²