Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4990 / 5180
↖ ↑ ↗
← S 42.940339°
E 39.287109°		 ← 3 577.22 m → S 42.940339°
E 39.331055°		 →
↑
3 576.30 m
↓
↑
3 576.30 m
↓
S 42.972502°
E 39.287109°		 ← 3 575.35 m →
12 789 871 m²		 S 42.972502°
E 39.331055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60919189453125 y=0.63238525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60919189453125 × 213)
    floor (0.60919189453125 × 8192)
    floor (4990.5)     		tx = 4990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63238525390625 × 213)
    floor (0.63238525390625 × 8192)
    floor (5180.5)     		ty = 5180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4990 / 5180 ti = "13/4990/5180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4990/5180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4990 ÷ 213
    4990 ÷ 8192     		x = 0.609130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5180 ÷ 213
    5180 ÷ 8192     		y = 0.63232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609130859375 × 2 - 1) × π
    0.21826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68568941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63232421875 × 2 - 1) × π
    -0.2646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.831417587010254
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68568941} λ = 0.68568941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.831417587010254))-π/2
    2×atan(0.43543158644252)-π/2
    2×0.41067301263106-π/2
    0.821346025262119-1.57079632675     		φ = -0.74945030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68568941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.287109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74945030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.940339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4990 KachelY 5180 0.68568941 -0.74945030 39.287109 -42.940339
    Oben rechts KachelX + 1 4991 KachelY 5180 0.68645640 -0.74945030 39.331055 -42.940339
    Unten links KachelX 4990 KachelY + 1 5181 0.68568941 -0.75001164 39.287109 -42.972502
    Unten rechts KachelX + 1 4991 KachelY + 1 5181 0.68645640 -0.75001164 39.331055 -42.972502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74945030--0.75001164) × R
    0.000561339999999966 × 6371000     		dl = 3576.29713999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74945030--0.75001164) × R
    0.000561339999999966 × 6371000     		dr = 3576.29713999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68568941-0.68645640) × cos(-0.74945030) × R
    0.000766989999999912 × 0.732063455134092 × 6371000     		do = 3577.22316136655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68568941-0.68645640) × cos(-0.75001164) × R
    0.000766989999999912 × 0.731680934549086 × 6371000     		du = 3575.35397709463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74945030)-sin(-0.75001164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732063455134092-0.731680934549086)×R²
    abs(0.68645640-0.68568941)×0.000382520585006096×R²
    0.000766989999999912×0.000382520585006096×6371000²
    0.000766989999999912×0.000382520585006096×40589641000000     		ar = 12789870.9177958m²