Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4990 / 1174
↖ ↑ ↗
← N 77.860345°
E 39.287109°		 ← 1 027.61 m → N 77.860345°
E 39.331055°		 →
↑
1 027.96 m
↓
↑
1 027.96 m
↓
N 77.851100°
E 39.287109°		 ← 1 028.38 m →
1 056 735 m²		 N 77.851100°
E 39.331055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60919189453125 y=0.14337158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60919189453125 × 213)
    floor (0.60919189453125 × 8192)
    floor (4990.5)     		tx = 4990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14337158203125 × 213)
    floor (0.14337158203125 × 8192)
    floor (1174.5)     		ty = 1174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4990 / 1174 ti = "13/4990/1174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4990/1174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4990 ÷ 213
    4990 ÷ 8192     		x = 0.609130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1174 ÷ 213
    1174 ÷ 8192     		y = 0.143310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609130859375 × 2 - 1) × π
    0.21826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68568941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143310546875 × 2 - 1) × π
    0.71337890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.24114593103687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68568941} λ = 0.68568941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24114593103687))-π/2
    2×atan(9.40410156712491)-π/2
    2×1.46485784837387-π/2
    2.92971569674774-1.57079632675     		φ = 1.35891937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68568941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.287109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35891937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.860345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4990 KachelY 1174 0.68568941 1.35891937 39.287109 77.860345
    Oben rechts KachelX + 1 4991 KachelY 1174 0.68645640 1.35891937 39.331055 77.860345
    Unten links KachelX 4990 KachelY + 1 1175 0.68568941 1.35875802 39.287109 77.851100
    Unten rechts KachelX + 1 4991 KachelY + 1 1175 0.68645640 1.35875802 39.331055 77.851100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35891937-1.35875802) × R
    0.000161349999999949 × 6371000     		dl = 1027.96084999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35891937-1.35875802) × R
    0.000161349999999949 × 6371000     		dr = 1027.96084999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68568941-0.68645640) × cos(1.35891937) × R
    0.000766989999999912 × 0.210295253340699 × 6371000     		do = 1027.60634436806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68568941-0.68645640) × cos(1.35875802) × R
    0.000766989999999912 × 0.210452992481326 × 6371000     		du = 1028.3771356203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35891937)-sin(1.35875802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210295253340699-0.210452992481326)×R²
    abs(0.68645640-0.68568941)×0.000157739140626473×R²
    0.000766989999999912×0.000157739140626473×6371000²
    0.000766989999999912×0.000157739140626473×40589641000000     		ar = 1056735.26513128m²