Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49897 / 82296
↖ ↑ ↗
← S 41.754922°
W 42.953796°		 ← 227.80 m → S 41.754922°
W 42.951050°		 →
↑
227.83 m
↓
↑
227.83 m
↓
S 41.756971°
W 42.953796°		 ← 227.79 m →
51 898 m²		 S 41.756971°
W 42.951050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380687713623047 y=0.627872467041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380687713623047 × 217)
    floor (0.380687713623047 × 131072)
    floor (49897.5)     		tx = 49897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627872467041016 × 217)
    floor (0.627872467041016 × 131072)
    floor (82296.5)     		ty = 82296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49897 / 82296 ti = "17/49897/82296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49897/82296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49897 ÷ 217
    49897 ÷ 131072     		x = 0.380683898925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82296 ÷ 217
    82296 ÷ 131072     		y = 0.62786865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380683898925781 × 2 - 1) × π
    -0.238632202148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.74968517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62786865234375 × 2 - 1) × π
    -0.2557373046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.803422437632141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74968517} λ = -0.74968517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.803422437632141))-π/2
    2×atan(0.447793792274624)-π/2
    2×0.42101772803617-π/2
    0.842035456072341-1.57079632675     		φ = -0.72876087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74968517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.953796°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72876087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.754922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49897 KachelY 82296 -0.74968517 -0.72876087 -42.953796 -41.754922
    Oben rechts KachelX + 1 49898 KachelY 82296 -0.74963724 -0.72876087 -42.951050 -41.754922
    Unten links KachelX 49897 KachelY + 1 82297 -0.74968517 -0.72879663 -42.953796 -41.756971
    Unten rechts KachelX + 1 49898 KachelY + 1 82297 -0.74963724 -0.72879663 -42.951050 -41.756971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72876087--0.72879663) × R
    3.57599999999403e-05 × 6371000     		dl = 227.82695999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72876087--0.72879663) × R
    3.57599999999403e-05 × 6371000     		dr = 227.82695999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74968517--0.74963724) × cos(-0.72876087) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.746000168217831 × 6371000     		do = 227.800125747478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74968517--0.74963724) × cos(-0.72879663) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.745976353520642 × 6371000     		du = 227.7928536432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72876087)-sin(-0.72879663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746000168217831-0.745976353520642)×R²
    abs(-0.74963724--0.74968517)×2.38146971890396e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38146971890396e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38146971890396e-05×40589641000000     		ar = 51898.1817514194m²