Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49896 / 57703
↖ ↑ ↗
← N 21.025546°
W 42.956543°		 ← 285.09 m → N 21.025546°
W 42.953796°		 →
↑
285.10 m
↓
↑
285.10 m
↓
N 21.022982°
W 42.956543°		 ← 285.10 m →
81 281 m²		 N 21.022982°
W 42.953796°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380680084228516 y=0.440242767333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380680084228516 × 217)
    floor (0.380680084228516 × 131072)
    floor (49896.5)     		tx = 49896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440242767333984 × 217)
    floor (0.440242767333984 × 131072)
    floor (57703.5)     		ty = 57703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49896 / 57703 ti = "17/49896/57703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49896/57703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49896 ÷ 217
    49896 ÷ 131072     		x = 0.38067626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57703 ÷ 217
    57703 ÷ 131072     		y = 0.440238952636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38067626953125 × 2 - 1) × π
    -0.2386474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.74973311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440238952636719 × 2 - 1) × π
    0.119522094726562 × 3.1415926535     		Φ = 0.3754897347239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74973311} λ = -0.74973311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.3754897347239))-π/2
    2×atan(1.45570414894805)-π/2
    2×0.968880668240646-π/2
    1.93776133648129-1.57079632675     		φ = 0.36696501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74973311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.956543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36696501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.025546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49896 KachelY 57703 -0.74973311 0.36696501 -42.956543 21.025546
    Oben rechts KachelX + 1 49897 KachelY 57703 -0.74968517 0.36696501 -42.953796 21.025546
    Unten links KachelX 49896 KachelY + 1 57704 -0.74973311 0.36692026 -42.956543 21.022982
    Unten rechts KachelX + 1 49897 KachelY + 1 57704 -0.74968517 0.36692026 -42.953796 21.022982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36696501-0.36692026) × R
    4.47499999999823e-05 × 6371000     		dl = 285.102249999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36696501-0.36692026) × R
    4.47499999999823e-05 × 6371000     		dr = 285.102249999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74973311--0.74968517) × cos(0.36696501) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.933420549234135 × 6371000     		do = 285.090661980855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74973311--0.74968517) × cos(0.36692026) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.933436603890973 × 6371000     		du = 285.0955654863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36696501)-sin(0.36692026))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933420549234135-0.933436603890973)×R²
    abs(-0.74968517--0.74973311)×1.60546568375164e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60546568375164e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60546568375164e-05×40589641000000     		ar = 81280.6881984995m²