Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49893 / 80535
↖ ↑ ↗
← S 38.045928°
W 42.964783°		 ← 240.53 m → S 38.045928°
W 42.962036°		 →
↑
240.51 m
↓
↑
240.51 m
↓
S 38.048091°
W 42.964783°		 ← 240.52 m →
57 847 m²		 S 38.048091°
W 42.962036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380657196044922 y=0.614437103271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380657196044922 × 217)
    floor (0.380657196044922 × 131072)
    floor (49893.5)     		tx = 49893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614437103271484 × 217)
    floor (0.614437103271484 × 131072)
    floor (80535.5)     		ty = 80535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49893 / 80535 ti = "17/49893/80535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49893/80535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49893 ÷ 217
    49893 ÷ 131072     		x = 0.380653381347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80535 ÷ 217
    80535 ÷ 131072     		y = 0.614433288574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380653381347656 × 2 - 1) × π
    -0.238693237304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.74987692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614433288574219 × 2 - 1) × π
    -0.228866577148438 × 3.1415926535     		Φ = -0.719005557401222
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74987692} λ = -0.74987692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.719005557401222))-π/2
    2×atan(0.487236543896717)-π/2
    2×0.453384807075236-π/2
    0.906769614150472-1.57079632675     		φ = -0.66402671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74987692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.964783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66402671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.045928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49893 KachelY 80535 -0.74987692 -0.66402671 -42.964783 -38.045928
    Oben rechts KachelX + 1 49894 KachelY 80535 -0.74982898 -0.66402671 -42.962036 -38.045928
    Unten links KachelX 49893 KachelY + 1 80536 -0.74987692 -0.66406446 -42.964783 -38.048091
    Unten rechts KachelX + 1 49894 KachelY + 1 80536 -0.74982898 -0.66406446 -42.962036 -38.048091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66402671--0.66406446) × R
    3.77499999999475e-05 × 6371000     		dl = 240.505249999666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66402671--0.66406446) × R
    3.77499999999475e-05 × 6371000     		dr = 240.505249999666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74987692--0.74982898) × cos(-0.66402671) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.787516989796383 × 6371000     		do = 240.527959370975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74987692--0.74982898) × cos(-0.66406446) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.787493724176684 × 6371000     		du = 240.520853451862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66402671)-sin(-0.66406446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.787516989796383-0.787493724176684)×R²
    abs(-0.74982898--0.74987692)×2.32656196984538e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32656196984538e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32656196984538e-05×40589641000000     		ar = 57847.3825017985m²