Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49891 / 80531
↖ ↑ ↗
← S 38.037276°
W 42.970276°		 ← 240.51 m → S 38.037276°
W 42.967529°		 →
↑
240.51 m
↓
↑
240.51 m
↓
S 38.039439°
W 42.970276°		 ← 240.50 m →
57 842 m²		 S 38.039439°
W 42.967529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380641937255859 y=0.614406585693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380641937255859 × 217)
    floor (0.380641937255859 × 131072)
    floor (49891.5)     		tx = 49891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614406585693359 × 217)
    floor (0.614406585693359 × 131072)
    floor (80531.5)     		ty = 80531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49891 / 80531 ti = "17/49891/80531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49891/80531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49891 ÷ 217
    49891 ÷ 131072     		x = 0.380638122558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80531 ÷ 217
    80531 ÷ 131072     		y = 0.614402770996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380638122558594 × 2 - 1) × π
    -0.238723754882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.74997279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614402770996094 × 2 - 1) × π
    -0.228805541992188 × 3.1415926535     		Φ = -0.718813809802742
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74997279} λ = -0.74997279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.718813809802742))-π/2
    2×atan(0.487329979291621)-π/2
    2×0.453460313781898-π/2
    0.906920627563796-1.57079632675     		φ = -0.66387570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74997279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.970276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66387570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.037276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49891 KachelY 80531 -0.74997279 -0.66387570 -42.970276 -38.037276
    Oben rechts KachelX + 1 49892 KachelY 80531 -0.74992486 -0.66387570 -42.967529 -38.037276
    Unten links KachelX 49891 KachelY + 1 80532 -0.74997279 -0.66391345 -42.970276 -38.039439
    Unten rechts KachelX + 1 49892 KachelY + 1 80532 -0.74992486 -0.66391345 -42.967529 -38.039439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66387570--0.66391345) × R
    3.77500000000586e-05 × 6371000     		dl = 240.505250000373m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66387570--0.66391345) × R
    3.77500000000586e-05 × 6371000     		dr = 240.505250000373m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74997279--0.74992486) × cos(-0.66387570) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.787610047213976 × 6371000     		do = 240.506202865246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74997279--0.74992486) × cos(-0.66391345) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.787586786083817 × 6371000     		du = 240.49909979932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66387570)-sin(-0.66391345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.787610047213976-0.787586786083817)×R²
    abs(-0.74992486--0.74997279)×2.32611301584917e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.32611301584917e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.32611301584917e-05×40589641000000     		ar = 57842.150291421m²